Добре вiдомо, що велика кiлькiсть прикладних задач у рiзних роздiлах математики, фiзики, технiки потребує дослiджень проблем iснування коливних розв’язкiв диференцiальних систем, що є їх математичними моделями. Особливо це стосується задач нелiнiйної механiки. У наш час коливними рухами динамiчних систем за В. В. Немицьким називають їх рекурентнi рухи. Як вiдомо з теорем Бiркгофа, траєкторiї таких рухiв мiстять мiнiмальнi компактнi множини динамiчних систем. До класу рекурентних рухiв зокрема належать квазiперiодичнi та майже-перiодичнi рухи. Широко вiдомi фундаментальнi теореми Амерiо i Фавара, що стосуються iснування майже-перiодичних розв’язкiв лiнiйних та нелiнiйних систем. Становить також iнтерес дослiдження поведiнки рухiв динамiчної системи в околi рекурентної траєкторiї. Пiзнiше стало зрозумiлим, що питання iснування таких траєкторiй тiсно пов’язане з iснуванням у таких систем iнварiантних торiв, для побудови яких зручно застосовувати метод функцiї Грiна-Самойленка. Тут розглядається нелiнiйна система диференцiальних рiвнянь, яка визначена на декартовому добутку нескiнченновимiрного тору $T_∞$ та простору обмежених числових послiдовностей $m$. Задача полягає у вiдшуканнi достатнiх умов, при яких задана система рiвнянь має сiм’ю майже-перiодичних у сенсi Бора розв’язкiв, залежних вiд параметра $ψ ∈ T_∞$, кожен з яких можна наблизити квазiперiодичним розв’язком деякої лiнiйної системи рiвнянь, визначеної на скiнченновимiрному торi.

[1] Bohr H. A. Almost Periodic Functions. Chelsea, New York, 1947.
[2] Demidovich B. P. Lectures on Mathematical Theory of Stability. Nauka, Moscow, 1967. (in Russian)
[3] Levitan B. M. Almos Periodic Functions. Gostekhisdat, Moskow, 1953. (in Russian)
[4] Samoilenko A. M. Elements of the Mathematical Theory of Multifrequency Oscillations. Nauka, Moskow,1987. (in Russian)
[5] Samoilenko A. M. On the preservation of an invariant torus under perturbations. Izv. Akad. Nauk SSSR. 1970, 34 (6), 1219-1240. (in Russian)
[6] Samoilenko A. M., Teplinskii Yu. V. Countable Systems of Differential Equations. VSP, Utrecht-Boston, 2003.
[7] Samoilenko A. M., Teplinsky Yu. V. Elements of Matematical Theory of Evolutionary Equations in Banach Spaces. World Scientific. Series A, Vol. 86, Singapore, 2013.
[8] Teplinsky Yu. V. Approximate method of constructing almost-periodic solutions of linear systems of differential equations defined on infinite-dimensional tori. Mathematical and computer modelling. Series: Physical end mathematical sciences: scientific journal. V. M. Glushkov Institute of National Academy of Sciences of Ukraine, Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University, Kamianets-Podilskyi, 2020. ISSUE 21, 137–144. DOI: 10.32626/2308-5878.2020-21. (in Ukrainian)
[9] Teplinsky Yu. V. On invariant tori of quasilinear countable systems of differential equations defined on infinite-dimensional tori. Nonlinear Oscillations. 2020, 23 (4), 253-264. http://umj.imath.kiev.ua/ISSN 1562–3076. (in Ukrainian)