У статті досліджується проблема існування періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь типу Лієнара з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу. Використовуючи метод відображень Пуанкаре, задачу про існування періодичних розв'язків зведено до аналізу ітерацій одновимірного відображення відрізка в себе. За допомогою методу математичної індукції доведено теорему про аналітичний вигляд періодичних точок будь-якого натурального періоду n та встановлено чітку структуру відповідних многочленів з коефіцієнтами $±1$. Визначено умови на параметри системи, за яких існують цикли, що відповідають $T(n)$-періодичним розв'язкам , та показано, що ці точки підпорядковуються порядку Шарковського.

[1] Samoilenko A. M., Samoilenko V. G., Sobchuk V. V. On periodic solutions of the equation of a nonlinear oscillator with impulse action. Ukr. Mat. Zh. 1999, 51 (6), 827–834.

[2] Samoilenko V. G., Sobchuk V. V. Periodic solutions of the Lienar equation with impulse action. Nonlinear oscillations 2000, 3 (2), 256–265.

[3] Pichkur V.V., Kapustian O.V., Sobchuk V.V. (2023). Stability and attractors of evolutionary equations: a textbook. – K: VPC "Kyiv University". 367 p.

[4] Sobchuk V.V. Nedbaylo V. A. Periodic modes in the model of a mathematical pendulum with impulse action. // Bulletin of the National Technical University "KhPI". Series: Mathematical modeling in engineering and technologies, No. 1 ’ 2023. P. 184 – 191. DOI: 10.20998/2222-0631.2023.01.27
[5] Perestyuk, Nikolai A., Plotnikov, Viktor A., Samoilenko, Anatolii M. and Skripnik, Natalia V. Differential Equations with Impulse Effects: Multivalued Right-hand Sides with Discontinuities, Berlin, Boston: De Gruyter, 2011. https://doi.org/10.1515/9783110218176

[6] Kapustyan, O.V.; Asrorov, F.A.; Perestyuk, Y.M. (2019). On the Exponential Stability of a Trivial Torus for One Class of Nonlinear Impulsive Systems//Journal of Mathematical Sciences (United States), 238(3), 263-270. doi: https://doi.org/10.1007/s10958-019-04234-9.

[7] Samoilenko, A.M. and Perestyuk, N.A. (1995) Impulsive Differential Equations. Vol. 14, World Scientific, Singapore. 472 р. https://doi.org/10.1142/2892

[8] Samoilenko A.M., Samoilenko V.G., Sobchuk V.V. On periodic solutions of the equation of a nonlinear oscillator with pulse influence // Ukrainian Mathematical Journal, 1999 (51), 6 Springer New York – Р. 926-933.

[9] Sobchuk V., Kapustyan O., Pichkur V. аnd Kapustian O. Design of Stable Periodic Regimes for one Class of Hybrid Planar Systems. // II International Scientific Symposium “Intelligent Solutions” September 28-30, 2021, Kyiv-Uzhhorod, Ukraine. pp. 111–120. URL: https://ceur-ws.org/Vol-3018/Paper_10.pdf   

[10] Asrorov F., Sobchuk V., Kurylko O. Finding of bounded solutions to linear impulsive systems // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies , vol. 6, no. 4, 2019, pp. 14-20, doi:10.15587/1729-4061.2019.178635.

[11] Asrorov, F., Perehuda, О., Sobchuk, V., Sukretna, A. (2021). Establishing conditions for the existence of bounded solutions to the weakly nonlinear pulse systems. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 4 (4 (112)), 6–12. doi: https://doi.org/10.15587/1729-4061.2021.238208.

[12] Reissig, R., Sansone, C. and Conti, R. (1963). Qualitative theorie nichtlinearer differentialgleichungen, Edizioni Cremonese, Rome. 320 p.

[13] A. N. Sharkovsky , S. F. Kolyada , A. G. Sivak , V. V. Fedorenko Dynamics of One-Dimensional Maps. Springer-Science+Business Media, B.Y. (1997) 262 р.