Вимірювання статистичної залежності між двома випадковими величинами є фундаментальною задачею аналізу даних, проте жодна окрема міра не охоплює всіх типів зв'язку, залишаючись водночас інтерпретованою. Класичні коефіцієнти виявляють лише вузькі класи залежностей: коефіцієнт Пірсона - лінійні, коефіцієнт Спірмена - монотонні. Загальніші міри або обчислювально затратні, або схильні до завищення сили зв'язку, або не дають інформації про його структуру. У роботі отримано два основні результати. По-перше, запропоновано уніфіковану схему порівняння мір залежності різної математичної природи, яка ґрунтується на функціональному класі коефіцієнта та наборі зв'язувальних властивостей, прив'язаних до кореляції Пірсона як до спільного еталона. По-друге, на базі кореляційного відношення побудовано коефіцієнт кореляції на основі детермінації (DBCC), який охоплює багатозначні залежності, коли одному значенню предиктора може відповідати кілька станів відгуку. Коефіцієнт розкладає умовний розподіл у локальних інтервалах за допомогою баєсової гауссової моделі суміші з м'яким віднесенням спостережень до компонент, що замінює розривний пошук мод попередньої реалізації на основі ядерних оцінок густини. Доведено спроможність оцінки коефіцієнта за допомогою оракульного розкладу, який відокремлює алгоритмічну складову похибки від статистичної, і показано, що коефіцієнт обчислюється за лінійний час. Побудова зберігає прозору інтерпретацію класичного коефіцієнта детермінації $R^{2}$ як частки поясненої дисперсії.

[1] Bickel P.J., Doksum K.A. Mathematical statistics: basic ideas and selected topics, Volume I, 2nd ed. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2015. doi:10.1201/b18312

[2] Bickel P.J., Freedman D.A. Some asymptotic theory for the bootstrap. Ann. Statist. 1981, 9 (6), 1196– 1217. doi:10.1214/aos/1176345637

[3] Chatterjee S. A new coefficient of correlation. J. Amer. Statist. Assoc. 2021, 116 (536), 2009–2022. doi:10.1080/01621459.2020.1758115

[4] Doran G. RDC: the randomized dependence coefficient in Python. Source code (software), 2014. https://github.com/garydoranjr/rdc (accessed June 2026).

[5] Gebelein H. Das statistische Problem der Korrelation als Variations- und Eigenwertproblem und sein Zusammenhang mit der Ausgleichsrechnung. Z. Angew. Math. Mech. 1941, 21 (6), 364–379. doi:10.1002/zamm.19410210604 (in German)

[6] Hirschfeld H.O. A connection between correlation and contingency. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1935, 31 (4), 520–524. doi:10.1017/S0305004100013517

[7] Lopez-Paz D., Hennig P., Sch¨olkopf B. The randomized dependence coefficient. In: Burges C.J.C., Bottou L., Welling M., Ghahramani Z., Weinberger K.Q. (Eds.) Advances in Neural Information Processing Systems 26 (NIPS 2013). Curran Associates, 2013, 1–9.

[8] McLachlan G.J., Peel D. Finite mixture models. In: Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons, New York, 2000. doi:10.1002/0471721182

[9] Pearson K. Note on regression and inheritance in the case of two parents. Proc. Roy. Soc. London 1895, 58, 240–242. doi:10.1098/rspl.1895.0041

[10] Pedregosa F., Varoquaux G., Gramfort A., Michel V., Thirion B., Grisel O., Blondel M., Prettenhofer P., Weiss R., Dubourg V., Vanderplas J., Passos A., Cournapeau D., Brucher M., Perrot M., Duchesnay E. Scikit-learn: machine learning in Python. J. Mach. Learn. Res. 2011, 12, 2825–2830.

[11] Ramos-Carre˜no C., Torrecilla J.L. dcor: distance correlation and energy statistics in Python. SoftwareX 2023, 22, 101326. doi:10.1016/j.softx.2023.101326

[12] Redner R.A., Walker H.F. Mixture densities, maximum likelihood and the EM algorithm. SIAM Rev. 1984, 26 (2), 195–239. doi:10.1137/1026034

[13] R´enyi A. On measures of dependence. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1959, 10 (3–4), 441–451. doi:10.1007/BF02024507

[14] Reshef D.N., Reshef Y.A., Finucane H.K., Grossman S.R., McVean G., Turnbaugh P.J., Lander E.S., Mitzenmacher M., Sabeti P.C. Detecting novel associations in large data sets. Science 2011, 334 (6062), 1518–1524. doi:10.1126/science.1205438

[15] Rousseau J., Mengersen K. Asymptotic behaviour of the posterior distribution in overfitted mixture models. J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol. 2011, 73 (5), 689–710. doi:10.1111/j.1467-9868.2011.00781.x

[16] Scarsini M. On measures of concordance. Stochastica 1984, 8 (3), 201–218.

[17] Scott D.W. On optimal and data-based histograms. Biometrika 1979, 66 (3), 605–610. doi:10.1093/biomet/66.3.605

[18] Spearman C. The proof and measurement of association between two things. Amer. J. Psychol. 1904, 15 (1), 72–101. doi:10.2307/1412159

[19] Sz´ekely G.J., Rizzo M.L., Bakirov N.K. Measuring and testing dependence by correlation of distances. Ann. Statist. 2007, 35 (6), 2769–2794. doi:10.1214/009053607000000505

[20] Teicher H. Identifiability of finite mixtures. Ann. Math. Statist. 1963, 34 (4), 1265–1269. doi:10.1214/aoms/1177703862

[21] van der Vaart A.W. Asymptotic statistics. In: Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, 3. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. doi:10.1017/CBO9780511802256

[22] van der Vaart A.W., Wellner J.A. Weak convergence and empirical processes. In: Springer Series in Statistics. Springer, New York, 1996. doi:10.1007/978-1-4757-2545-2

[23] Wang Y., Blei D.M. Frequentist consistency of variational Bayes. J. Amer. Statist. Assoc. 2019, 114 (527), 1147–1161. doi:10.1080/01621459.2018.1473776