Серед сучасних напрямків теорії стохастичних процесів, таких як узагальнені стохасти-чні процеси, властивості функціоналів від випадкових процесів, статистичні методи стохастичних процесів та інші, важливим є напрямок, зосереджений на проблемі оцінювання невідомих значень випадкових процесів. Особливої актуальності в останні роки набуває проблема оцінювання значень процесів в умовах невизначеності. Тому розробка методів оцінювання є одним із основних завдань сучасної теорії стохастичних процесів. У даній статті ми розглядаємо проблему оптимальної лінійної інтерполяції функціоналу, що залежать від невідомих значень векторного стаціонарного випадкового поля за спостереженнями поля з шумом. Ми застосовуємо класичний підхід для виведення формул для обчислення значень середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оптимальної лінійної оцінки функціоналу. Цей підхід базується на припущенні, що спектральні щільності стаціонарних полів точно відомі. Однак на практиці повна інформація про спектральні щільності в більшості випадків неможлива. Щоб подолати цю проблему, знаходять параметричні або непараметричні оцінки невідомих спектральних щільностей або вибирають щільності з інших міркувань, а потім застосовують класичний метод оцінювання за умови, що оцінена або вибрана щільність є істинною. Такий підхід може призвести до значного зростання величини похибки оцінювання. Це дає стимул до пошуку оцінок, оптимальних для всіх щільностей з певного класу допустимих спектральних щільностей. Такі оцінки називаються мінімаксними, оскільки вони мінімізують максимальне значення похибки оцінювання. Тому у випадку спектральної невизначеності ми використовуємо мінімаксний підхід і пропонуємо формули, які визначають найменш сприятливі спектральні щільності та мінімаксні спектральні характеристики оптимальних оцінок функціоналу для деяких класів допустимих спектральних щільностей.

[1] Franke J. Minimax robust prediction of discrete time series. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. 1985, 68, 337–364. doi:10.1007/BF00532645.

[2] Franke J., Poor H.V. Minimax-robust filtering and finite-length robust predictors. In Robust and Nonlinear Time Series Analysis. Springer-Verlag, New York, 1984, 87–126.

[3] Grenander U. A prediction problem in game theory. Ark. Mat. 1957, 3, 371–379. doi:10.1007/BF02589429.

[4] Hannan E.J. Multiple time series. John Wiley & Sons, New York, 1970.

[5] Hurd H., Kallianpur G., Farshidi J. Correlation and spectral theory for periodically correlated random fields indexed on Z². J. Multivar. Anal. 2004, 90, 359–383. doi:10.1016/j.jmva.2004.04.010.

[6] Kallianpur G., Miamee A. G., Niemi H. On the prediction theory of two-parameter stationary random fields. J. Multivariate Anal. 1990, 32 (1), 120–149. doi:10.1016/0047-259X(90)90076-T.

[7] Kassam S.A., Poor H.V. Robust techniques for signal processing: A survey. Proc. IEEE 1985, 73 (3), 433–481. doi:10.1109/PROC.1985.13167.

[8] Kohli P., Pourahmadi M. Some prediction problems for stationary random fields with quarter-plane past. J. Multivariate Anal. 2014, 127, 112–125. doi:10.1016/j.jmva.2014.02.009.

[9] Kolmogorov A.N. Selected works by A. N. Kolmogorov. Vol. II: Probability theory and mathematical statistics. Ed. by A. N. Shiryayev. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1992.

[10] Mandrekar V. S., Redett D. A. Weakly stationary random fields, invariant subspaces and applications. CRC Press, 2018.

[11] Moklyachuk M., Masyutka O. Minimax-robust estimation technique for stationary stochastic processes. LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, 2012.

[12] Moklyachuk M., Shchestyuk N. Robust estimates of functionals of homogeneous random fields. Theory Stoch. Process. 2003, 9 (25), 101–113.

[13] Moklyachuk M., Masyutka O., Golichenko I. Estimates of periodically correlated isotropic random fields. Nova Science Publishers, New York, 2018.

[14] Nakazi T. Two problems in prediction theory. Stud. Math. 1984, 78, 7–14. doi:10.4064/sm-78-1-7-14.

[15] Pshenichnyj B.N. Necessary conditions of an extremum. Marcel Dekker, New York, 1971.

[16] Rockafellar R.T. Convex analysis. Princeton University Press, Princeton, 1997.

[17] Vastola K.S., Poor H.V. An analysis of the effects of spectral uncertainty on Wiener filtering. Automatica 1983, 28, 289–293. doi:10.1016/0005-1098(83)90105-X.

[18] Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. With engineering applications. The M. I. T. Press, Massachusetts, 1966.

[19] Wold H. A study in the analysis of stationary time series. Almqristand Witsett, Stockholm, 1938.

[20] Wold H. On prediction in stationary time series. Ann. Math. Stat. 1948, 19 (4), 558–567. doi:10.1214/aoms/1177730151.

[21] Yadrenko M. Spectral theory of random fields. Springer-Verlag, 1983.