На розширеній біциклічній напівгрупі $\mathscr{C}_\mathbb{Z}$ побудовано такі недискретні $T_1$-топології: $(i)$ напівгрупова інверсна; $(ii)$ берівська лівонеперервна [правонеперервна]; $(iii)$ локально компактна лівонеперервна [правонеперервна]. Доведено, що на $\mathscr{C}_\mathbb{Z}$ не існує зліченно компактної лівонеперервної [правонеперервної] $T_1$-топології. Вказано умови за яких $T_1$-топологія на розширеній біциклічній напівгрупі $\mathscr{C}_\mathbb{Z}$ дискретна, Зокрема, $(i)$ лівонеперервна [правонеперервна] $T_1$-топологія $\tau$ на $\mathscr{C}_\mathbb{Z}$ дискретна тоді і лише тоді, коли існує послідовність $\{(i_n,j_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ ізольованих точок простору $(\mathscr{C}_\mathbb{Z},\tau)$ така, що послідовність $\{i_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ $[\{j_n\}_{n\in\mathbb{N}}]$ строго монотонно зростаюча; $(ii)$ трансляційно-неперервна $T_1$-топологія $\tau$ на $\mathscr{C}_\mathbb{Z}$ дискретна тоді і лише тоді, коли простір $(\mathscr{C}_\mathbb{Z},\tau)$ містить ізольовану точку; $(iii)$ якщо $T_1$-простір топологічної інверсної напівгрупи $(\mathscr{C}_\mathbb{Z},\tau)$ містить точку в якій він квазірегулярний, то топологія $\tau$ дискретна.

[1] Andersen O., Ein Bericht uber die Struktur abstrakter Halbgruppen. PhD Thesis. Hamburg, 1952.

[2] Bertman M.O., West T.T., Conditionally compact bicyclic semitopological semigroups. Proc. Roy. Irish Acad. 1976, A76 (21–23), 219–226.

[3] Bruck R.H., A survey of binary systems. Erg. Math. Grenzgebiete. Neue Folge. Heft 20. Springer, Berlin-G¨ottingen-Heidelberg, 1958.

[4] Carruth J.H., Hildebrant J.A., Koch R.J., The theory of topological semigroups. Vol. I. Marcel Dekker, Inc., New York and Basel, 1983.

[5] Chornenka A., Gutik O., On topologization of the bicyclic monoid, Visn. L’viv. Univ., Ser. Mekh.-Mat. 2023, 95, 46–56. doi:10.30970/vmm.2023.95.046-056

[6] Chornenka A., Gutik O., On topologization of subsemigroups of the bicyclic monoid, Preprint (arXiv: 2601.02100).

[7] Clifford A.H., Preston G.B., The algebraic theory of semigroups. Vol. I. Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1961.

[8] Clifford A.H., Preston G.B., The algebraic theory of semigroups. Vol. II. Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1967.

[9] Comfort W.W., Topological groups. In: Handbook of set-theoretic topology, Kunen K., Vaughan J. (eds.) Elsevier, 1984, pp. 1143–1263.

[10] Eberhart C., Selden J., On the closure of the bicyclic semigroup. Trans. Amer. Math. Soc. 1969, 144, 115–126. doi:10.1090/S0002-9947-1969-0252547-6

[11] Engelking R., General topology. 2nd ed., Heldermann, Berlin, 1989.

[12] Fihel I.R., Gutik O.V., On the closure of the extended bicyclic semigroup. Carpathian Math. Publ. 2011, 3 (2), 131–157.

[13] Fortunatov V.A., Congruences on simple extensions of semigroups. Semigroup Forum 1976, 13, 283–295. doi:10.1007/BF02194949

[14] Fotedar G.L., On a semigroup associated with an ordered group. Math. Nachr. 1974, 60, 297–302. doi:10.1002/mana.19740600128

[15] Fotedar G.L., On a class of bisimple inverse semigroups. Riv. Mat. Univ. Parma (4) 1978, 4, 49–53.

[16] Gutik O., Topological property of the Taimanov semigroup. Math. Bull. T. Shevchenko Sci. Soc. 2016, 13, 1–5.

[17] Gutik O., On locally compact semitopological 0-bisimple inverse ω-semigroups. Topol. Algebra Appl. 2018, 6, 77–101. doi:10.1515/taa-2018-0008

[18] Gutik O., On non-topologizable semigroups. Visn. L’viv. Univ., Ser. Mekh.-Mat. 2024, 96, 25–36. doi:10.30970/vmm.2024.96.025-036

[19] Gutik O., On semigroups which admit only discrete left-continuous Hausdorff topology. Proc. Int. Geom. Cent. (accepted), 2026 (arXiv:2601.19881).

[20] Gutik O.V., Maksymyk K.M., On semitopological bicyclic extensions of linearly ordered groups. J. Math. Sc. 2019, 238 (1), 32–45. doi:10.1007/s10958-022-06058-6

[21] Gutik O., Mykhailenych M., On some generalizations of the bicyclic monoid. Visn. L’viv. Univ., Ser. Mekh.-Mat. 2020, 90, 5–19. doi:10.30970/vmm.2020.90.005-019 (in Ukrainian)

[22] Gutik O., Pagon D., Pavlyk K., Congruences on bicyclic extensions of a linearly ordered group. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2011, 15 (2), 61–80. doi:10.12697/ACUTM.2011.15.10
[23] Haworth R.C., McCoy R.A., Baire spaces. Dissertationes Math. Vol. 141, Warszawa, PWN, 1977.

[24] Lawson M.V., Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. World Scientific, Singapore, 1998. doi:10.1142/3645

[25] Markov A.A., On free topological groups. Transl. Amer. Math. Soc. 1962, 8 (1), 195—272.

[26] Ol’shanskiy A. Yu., Remark on counatable non-topologized groups. Vestnik Moscow Univ. Ser. Mech. Math. 1980, 39, 1034. (in Russian).

[27] Petrich M., Inverse semigroups. John Wiley & Sons, New York, 1984.

[28] Pontryagin L.S., Topological groups. Gordon & Breach, New York ets, 1966.

[29] Reilly N.R., Bisimple ω-semigroups. Proc. Glasgow Math. Assoc. 1966, 7 (3), 160–167. doi:10.1017/S2040618500035346

[30] Ruppert W., Compact semitopological semigroups: an intrinsic theory. Lect. Notes Math., 1079, Springer, Berlin, 1984. doi:10.1007/BFb0073675

[31] Taimanov A.D., An example of a semigroup which admits only the discrete topology. Algebra Logic 1973, 12 (1), 64–65. doi:10.1007/BF02218642

[32] Taimanov A.D., The topologization of commutative semigroups. Math. Notes 1975, 17 (5), 443–444. doi:10.1007/BF01155800

[33] Vagner V.V., Generalized groups, Dokl. Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 1952, 84, 1119–1122. (in Russian)

[34] Warne R.J., A class of bisimple inverse semigroups. Pacif. J. Math. 1966, 18 (3), 563–577. doi:10.2140/pjm.1966.18.563

[35] Warne R.J., Bisimple inverse semigroups mod groups. Duke Math. J. 1967, 34 (4), 787–812. doi:10.1215/S0012-7094-67-03481-3