Поняття нормального за основою $s$ (слабо нормального) та нормального (абсолютно нормального, тобто нормального за довільною натуральною основою) числа, ввів Е.~Борель (1919 р). Ці поняття ґрунтуються на понятті частоти цифри у $s$-ковому зображенні числа. Довівши, що майже всі (у розумінні міри Лебега) числа відрізка $[0;1]$ є нормальними, Борель не побудував приклад жодного нормального числа. Пізніше це зробили А. Лебег, В. Серпінський та ін. Ці дослідження започаткували новий напрям у метричній теорії дійсних чисел, який сьогодні називається теорією нормальних властивостей чисел у різних системах їх кодування (зображення).

Загалом, проблематика нормальних чисел у $s$-ковій системі числення розглядалася в роботах Е.~Бореля, Г.~Вейля, А.~Лебега, В.~Серпінського, Д.~Чемперноуна, С.~Піллаї, Д.~Волла, П.~Ердеша, А.~Копеланда, Г.~Давенпорта та інших.

$Q_s$-представлення чисел та $Q_s$-зображення чисел відрізка $[0;1]$ як узагальнення класичного $s$-кового представлення введене Працьовитим М.В. (1986 рік). Ним же були вивчені тополого-метричні і фрактальні властивості $Q_s$-зображення чисел, отримані узагальнення теорем Бореля, Безиковича-Еглстона, Біллінгслі тощо. $Q_s$-зображення знайшли свої різнопланові застосування у метричні та ймовірнісній теоріях чисел, фрактальному аналізі, теорії сингулярних розподілів випадкових величин та теорії функцій зі складною локальною структурою та фрактальними властивостями. Воно використовувалось у роботах багатьох авторів, зокрема, для узагальнень конструкцій сингулярних, ніде не монотонних та недиференційовних неперервних функцій.

Дана робота є продовженням попередніх досліджень метричних властивостей $Q_s$-зображення чисел, нормальних властивостей чисел за їх $Q_s$-зображенням. Вона присвячена застосуванню $Q_s$-зображення чисел для узагальнення теореми

К.~Нагасаки про суперфрактальність множини слабонормальних чисел, які не є нормальними за Борелем.}

{$Q_s$-зображення, метричні властивості, суперфрактал, випадкова величина, центральна гранична теорема, закон повторного логарифма, динамічна система, ентропія Колмогорова-Синая, показник Ляпунова

[1] Turbin A.F., Pratsyovitiy M.V. Fractal sets, functions, distributions, Nauk. Dumka, Kyiv (1992).

[2] Pratsyovitiy M.V., Feshchenko O.Yu. Mathematical models of bilateral dynamic conflicts and Q-representation of real numbers. Naukovi zapiski NPU named M.P. Dragomanova. Phys.-math. science, 2003, № 4, P.260-269.

[3] Pratsyovitiy M.V. A fractal approach to the investigation of singular divisions. Kiev: NPU named M.P. Drahomanov, 1998. – 296 p.

[4] Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Topological and fractal properties of real numbers which are not normal, Bulletin des Sciences Mathematiques. 129, no. 8, 615–630 (2005). DOI: 10.1016/j.bulsci.2004.12.004

[5] Billingsley P. Ergodic Theory and Information, New York: John Wiley and Sons, (1965).

[6] Borel É. Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 27, 247–271 (1909). DOI: 10.1007/BF03019651.

[7] Bourgain J. Pointwise ergodic theorems for arithmetic sets, Publications Math´ematiques de l’IH´ES, 69, 5–41 (1989). DOI: 10.1007/BF02698838.

[8] Bugeaud Y. Distribution modulo one and Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics, 193, Cambridge University Press, Cambridge (2012). DOI: 10.1017/CBO9781139017732.

[9] Champernowne D. G. The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, 8, no. 4, 254–260 (1933). DOI: 10.1112/jlms/s1-8.4.254.

[10] Davenport H., Erdos P. Note on normal decimals, Canadian Journal of Mathematics, 4, 58–63 (1952). DOI: 10.4153/CJM-1952-005-3.

[11] Erdos P., Turán P. On a problem in the theory of uniform distribution. I, Indagationes Mathematicae, 10, 370–378 (1948). DOI: 10.1016/S1385-7258(48)50041-4.

[12] Kryvoshyia R. V. On a generalization of the concept of normal numbers, Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Series: Physics & Mathematics, № 2, 63–68 (2021). DOI: 10.17721/1812-5409.2021/2.8.

[13] Nagasaka K. On Hausdorff dimension of non-normal sets, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 23, no. 3, 515–531 (1971).

[14] Wall D. D. Normal Numbers: Ph.D. thesis, University of California, Berkeley (1949).