В статті розглядається абстрактний симетричний простір Фока і гільбертів простір породжений симетричними поліномами на просторі абсолютно сумовних послідовностей. Зокрема, досліджено властивості симетричного оператора зсуву такі, як лінійність, необмеженість і знайдено власні вектори. На симетричному просторі Фока побудовано оператор, який є подібним до симетричного оператора зсуву.  В статті стверджується, що побудований оператор  не є гіперциклічним.

[1] Aron R., B`es J. Hypercyclic differentiation operators, Contemporary Mathematics, 1999, 232, 39-46.
[2] Alencar R., Aron R., Galindo P. and Zagorodnyuk A. Algebras of symmetric holomorphic functions on ℓp, Bull. Lond. Math. Soc. 2003, 35, 55–64.
[3] Aron R., Galindo P., Pinasco D., Zalduendo I. Group-symmetric holomorphic functions on a Banach space, Bull. Lond. Math. Soc. 2016, 48, 779–796.

[4] Aron R., Falc´o J., Maestre M. Separation theorems for group invariant polynomials, J. Geom. Anal. 2018, 28, 393–404.
[5] Bayart F., Matheron E. Dynamics of linear operators, Cambridge University Press, New York, 2009.
[6] Birkhoff G. D. D’´emonstration d’un th´eor`eme ´el´ementaire sur es fonctions enti`eres, C. R. Acad. Sci. Paris, 192), 189, 473–475.
[7] Chernega I., Galindo P., Zagorodnyuk A. The convolution operation on the spectra of algebras of symmetric analytic functions, J. Math. Anal. & App. 2012, 395, 569–577.
[8] Gethner R. M., Shapiro J. H. Universal vectors for operators on spaces of holomorphic functions, Proc. Amer. Math. Soc. 1987, 100(2), 281–288.
[9] Godefroy G. and Shapiro J. H. Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds, J. Funct. Anal. 1991, 98 229–269.
[10] Gonzalez M., Gonzalo R. and Jaramillo J. Symmetric polynomials on rearrangement invariant function
spaces, Jour. London Math. Soc. 1999, 59, 681–697.
[11] Grosse-Erdmann K.-G. Universal families and hypercyclic operators, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1999, 36, 345–381.
[12] Grosse-Erdmann K. G., Peris Manguillot A. Linear chaos, Springer-Verlag, London, 2011.
[13] Lopushansky O., Zagorodnyuk A. Representing measures and infinite-dimensional holomorphy, J. Math. Anal. & App. 2007, 333, 614–625.
[14] Lopushansky O. Weyl–Schrеdinger representations of Heisenberg groups in infinite dimensions, Results Math. 2020, 75, 73 .
[15] Mart`inez-Gim`enez F., Peris A. Universality and chaos for tensor products of operators, J. Approx. Theory, 2003, 124, 7–24.
[16] Mozhyrovska Z.H. and Zagorodnyuk A.V. Hypercyclic composition operators on Hilbert spaces of analytic functions, Methods of Functional Analysis and Topology, 2014, 20(3), 284–291.
[17] Mozhyrovska Z. H., Zagorodnyuk A. V. Hypercyclic behavior of translation operators on spaces of analytic functions on Hilbert spaces, Journal of Functional Spaces, 2015, 2015, 139289 .
[18] Novosad Z. and Zagorodnyuk A. Polynomial automorphisms and hypercyclic operators on spaces of analytic functions, Archiv der Mathematik, 2007, 89 (2), 157–166.
[19] Zagorodnyuk A., Novosad Z., Holubchak O. Symmetric Polynomials on ℓ1 and Abstract Symmetric Fock Spaces, AIP Conference Proceedings, 2022, 2483, 040007.