Статтю присвячено дослідженню мішаної задачі для еволюційних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними четвертого порядку. Головна частина рівнянь систем містить різні члени, а саме: похідну за часом, лінійний білапласіан, монотонні та немонотонні нелінійні члени зі змінними показниками нелінійності. Ці показники залежать від просторових та часових змінних. Крім того, система містить нелінійні нелокальні члени з інтегралами відносно просторових змінних. Ми шукаємо слабкий розв'язок розглянутої мішаної задачі. Цей розв'язок належить відповідним узагальненим просторам Лебега та Соболєва. Основна теорема присвячена існуванню слабкого розв'язку розглянутої задачі. Для доведення цієї теореми ми використовуємо метод Фаедо-Гальоркіна, інтегральні оцінки та теорему Обена.

[1] Gajewski H., Groger K., Zacharias K. Nichtlineare operator gleichungen und operator differential gleichungen, Vol. 38. Walter de Gruyter GmbH Co. KG, 1974.
[2] Protsakh N. Existence end uniqueness of solution of mixed problem for some parabolic equation, Visn. Lviv Univ. (Herald of Lviv University). Ser. Mech.-Math. 2001; 59: 148-157.
[3] Bokalo Т.М. Initial-boundary problems for systems of a high order doubly nonlinear parabolic equations
with variable exponent of nonlinearity, Mat. St. 2012; 38 (1): 68-80.
[4] Buhrii O., Buhrii N. Integro-differential systems with variable exponents of nonlinearity Open Math.
2017; 15: 859-883.

[5] Buhrii O.M. On the existence of mild solutions of the initial-boundary-value problems for the Petrovskiitype
semilinear parabolic systems with variable exponents of nonlinearity, Ukrainian Math. J. 2014; 66 (4): 487-498.
[6] Buhrii O.M. Visco-plastic, Newtonian, and dilatant fluids: Stokes equations with variable exponent of nonlinearity, Matematychni Studii. 2018; 49 (2): 165-180.
[7] Bokalo M., Buhrii O., Hryadil N. Initial-boundary value problems for nonlinear elliptic-parabolic equations
with variable exponents of nonlinearity in unbounded domains without conditions at infinity, Nonlinear Analysis. 2020; 192: 111700.
[8] Bokalo M. Initial-boundary value problems for anisotropic parabolic equations with variable exponents of
the nonlinearity in unbounded domains with conditions at infinity, Journal of Optimization, Differential Equations and Their Applications. 2022; 30 (1): 98-121.
[9] Bokalo M.M., Domanska O.V. Higher-orders elliptic-parabolic equations with variable exponents of the
nonlinearity in unbounded domains without conditions at infinity, Matematychni Studii. 2023; 59 (1): P. 86-105.
[10] Buhrii O.M., Buhrii N.V., Kholyavka O.T. Hyperbolic Stokes system of the third order with variable exponent of nonlinearity, J. Math. Sciences. 2025; 291 (5): 617-635.
[11] Buhrii O., Domans’ka G., Protsakh N. Initial boundary value problem for nonlinear differential equation of the third order in generalized Sobolev spaces, Visnyk (Herald) of Lviv Univ. Series Mech.-Math. 2005; 64: 44-61.
[12] Khoma M.V., Buhrii O.M. Stokes system with variable exponents of nonlinearity, Bukovinian Mathematical
Journal. 2022; 10 (2): 28-42.