У роботі розглядається перша крайова задача (задача Діріхле) для напівлінійного еліптичного рівняння, що є математичною моделлю термохімічного процесу з кінетикою Арреніуса. При цьому нелінійність у рівнянні є експоненціальною з насиченням. За допомогою функції Гріна розглядувана крайова задача замінена еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна. Це рівняння покладено в основу означення узагальненого розв’язку задачі та проаналізовано методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах, а саме інтегральне рівняння подане як рівняння з нелінійним оператором, що діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Досліджено властивості нелінійного оператора такі, як додатність, монотонність, ліпшіц-неперервність, існування інваріантного конусного відрізка тощо. Для чисельного аналізу інтегрального рівняння (а отже, і розглядуваної крайової задачі) запропоновано ітераційну схему методу двобічних наближень, причому початковими наближеннями обираються кінці інваріантного конусного відрізка. Отримано умови збіжності ітерацій і умови існування додатного розв’язку крайової задачі. Також для розв’язку виписано двосторонню апріорну оцінку. Обчислювальні експерименти були проведені для різних значень параметрів у одиничному крузі та одиничній кулі, зроблено висновки про ефективність запропонованого чисельного методу та фізичні властивості розв’язку задачі в залежності від параметрів. Перевагою двосторонніх ітерацій є наявність гарантованої апостеріорної оцінки точності наближеного розв’язку та зручний критерій закінчення процесу обчислень.

[1] Opoytsev V.Y., Khurodze T.A. Nonlinear operators in spaces with a cone. Tbilisi : Publishing House of Tbilisi University, 1984. 246 p.

[2] Sidorov M.V. Two-sided iterative methods for numerical analysis of the first boundary value problem for a semilinear elliptic equation. Radio electronics and computer science. 2018. № 3 (82). P. 50–56.

[3] Sidorov M.V. Application of Green’s function methods and Green-Rvachev quasifunctions to construct two-sided iterative processes for solving nonlinear boundary value problems. Bulletin of Zaporizhzhia National University. Series: Physical and Mathematical Sciences. 2017. № 2. P. 250–259.

[4] Alnashri Y., Alzubaidi H. A unified analysis for reaction-diffusion models. Arabian Journal of Mathematics. 2023. Vol. 12. P. 445–465. DOI: 10.1007/s40065-023-00423-2.

[5] Amann H. Fixed Point Equations and Nonlinear Eigenvalue Problems in Ordered Banach Spaces. SIAM Review. 1976. Vol. 18, № 4. P. 620–709. DOI: 10.1137/1018114.

[6] El-Asri E.-H., Tri A., Braikat B., Zahrouni H. High-order meshless approach for solving the 3D nonlinear Bratu problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2026. Vol. 184. Art. 106651. DOI: 10.1016/j.enganabound.2026.106651.

[7] Hamza M. M., Ojemeri G., Ahmad S. K. Insights into an analytical simulation of a natural convection flow controlled by Arrhenius kinetics. Heliyon. 2023. Vol. 9, No. 7. Art. e17628. DOI: 10.1016/j.heliyon.2023.e17628.

[8] Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen : P. Noordhoff, 1964. 379 p.

[9] Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York : Plenum Press, 1992. 794 p. 
[10] Saleh M., Kov´acs E., Barna I. F. Analytical and numerical results for diffusion equations. Algorithms. 2023. Vol. 16, No. 4. Art. 184. DOI: 10.3390/a16040184.

[11] Sidorov M. V. Green-Rvachev’s quasi-function method for constructing two-sided approximations to positive solution of nonlinear boundary value problems. Carpathian Mathematical Publications. 2018. Vol. 10, № 2. P. 360–375. DOI: 10.15330/cmp.10.2.360-375.

[12] Temimi H., Ben-Romdhane M., Baccouch M. An efficient accurate scheme for solving the threedimensional Bratu-type problem. Applied Mathematics and Computation. 2024. Vol. 461. Art. 128316. DOI: 10.1016/j.amc.2023.128316.

[13] Temimi H., Ben-Romdhane M., Baccouch M., Musa M. O. A two-branched numerical solution of the two-dimensional Bratu’s problem. Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 153. P. 202–216. DOI: 10.1016/j.apnum.2020.02.010.

[14] Tomar S., Pandey R. K. An efficient iterative method for solving Bratu-type equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2019. Vol. 357. P. 71–84. DOI: 10.1016/j.cam.2019.02.025.

[15] Yadav N., Yadav A., Deep K. Artificial neural network technique for solution of nonlinear elliptic boundary value problems. Proceedings of Fourth International Conference on Soft Computing for Problem Solving. New Delhi : Springer, 2015. P. 113–121.