Метою цієї роботи є дослідження ізотропної задачі з неоднорідною граничною умовою Діріхле та даними $L^{1}$ у просторі Соболєва зі змінним показником. Ми починаємо з показу існування та єдиності слабкого розв'язку, коли вихідний член обмежений. Нарешті, ми використовуємо проблемно-орієнтований підхід для доведення існування та єдиності ентропійного розв'язку, коли вихідний член є інтегровним.

[1] Benboubker M. B., Azroul E., Barbara A. Quasilinear elliptic problems with nonstandard growth. Electron. J. Differ. Equ. 2011, Paper No. 62, 16 p. (2011).

[2] Boureanu M.M. On some variable exponent problems with no-flux boundary condition. In: Current Trends in Mathematical Analysis and Its Interdisciplinary Applications. Cham: Springer International Publishing, 2019. p. 253-285.

[3] Boureanu M.M., Udrea D. N. Existence and multiplicity results for elliptic problems with p(.)-Growth conditions. Nonlinear Anal., Real World Appl. 14, No. 4, 1829-1844 (2013).

[4] Chen Y., Levine S., Rao R. Variable exponent, linear growth functionals in image restoration. SIAM J. Appl. Math. 66, No. 4, 1383-1406 (2006).

[5] Diening L. Theoretical and numerical results for electrorheological fluids. Freiburg im Breisgau: Univ. Freiburg im Breisgau, Mathematische Fakultät, 156 p. (2002).

[6] Fan X. Solutions for p(x)В–Laplacian Dirichlet problems with singular coefficients. J. Math. Anal. Appl.312, No. 2, 464-477 (2005).

[7] Halmos P. Measure Theory. University Series in Higher Mathematics. New York: D. Van Nostrand Co., Inc.; London: Macmillan and Co., Ltd. xii, 304 p. (1950).

[8] Kovacik O., Rakosnik J. On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{1,p(x)}$. Czech. Math. J. 41(116), No. 4, 592-618 (1991).

[9] Mihailescu M., Radulescu V. A multiplicity result for a nonlinear degenerate problem arising in the theory of electrorheological fluids. Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng. Sci. 467, No. 2134, 3033-3034 (2011).

[10] Ouaro S., Tchousso A. Well-posedness result for a nonlinear elliptic problem involving variable exponent and Robin type boundary condition. Afr. Diaspora J. Math. 11, No. 2, 36-64 (2011).

[11] Ouaro S., Traor´e S.Weak and Entropy Solutions to Nonlinear Elliptic Problems with Variable Exponent. J. Convex Anal. 16, No. 2, 523-541 (2009).

[12] Rajagopal K., Ruzicka M. Mathematical modeling of electrorheological materials. Contin. Mech. Thermodyn. 13, No. 1, 59-78 (2001).

[13] Ruzicka M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. Lecture Notes in Mathematics. 1748. Berlin: Springer. xvi, 161 p. (2000).

[14] Sanchon M., Urbano J. M. Entropy solutions for the p(x)-Laplace equation. Trans. Am. Math. Soc. 361, No. 12, 6387-6405 (2009).