Досліджуються швидко змінні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку загального виду, що є близькими до диференціальних рівнянь із правильно змінними нелінійностями. Важливою особливістю таких нелінійностей є те, що в загальному випадку їх неможливо представити у вигляді добутку функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної. Це унеможливлює застосування багатьох методів, розроблених для чисельних узагальнень суттєво нелінійних диференціальних рівнянь типу Емдена-Фаулера, детальне дослідження яких було проведено у роботах Р. Г. Фаулера, Ф. В. Аткінсона, І. Т. Кігурадзе, Т. А. Чантурії, М. О. Ізобова, С. Белогорця, С. Д. Таліаферро, Дж. С. В. Вонга, О. В. Костіна, В. М. Євтухова та багатьох його учнів.

Дослідження швидко змінних розв’язків рівнянь цього типу потребує нових підходів, оскільки їх асимптотична поведінка в околі особливої точки суттєво відрізняється від поведінки правильно змінних функцій, для яких розроблено значно більше методів (див., наприклад, монографію В. Марича [7]).

У роботі отримано необхідні та достатні умови існування класу швидко змінних \newline розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь досліджуваного виду. Цей клас був уведений В. М. Євтуховим для суттєво нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку на базі більш загальної класифікації розв’язків І. Т. Кігурадзе. Властивості функцій із цього класу дозволяють проводити детальніші дослідження асимптотичної поведінки розв’язків та їхніх похідних. Доведення існування розв’язків із виявленими асимптотичними зображеннями проводилося шляхом зведення питання про існування таких розв’язків до питання про розв’язки систем квазілінійних диференціальних рівнянь, що зникають в особливій точці, та застосування до таких систем результатів В. М. Євтухова та А. М. Самойленка. Для зазначеного класу розв’язків та їхніх похідних першого порядку отримано точні асимптотичні формули.

[1] Бiлозерова М.О. Асимптотична поведiнка розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйностями, якi є композицiями експоненцiальної та правильно змiнних функцiй.. Буковинський матем. журнал 2023, 11 (2), 33–40. doi:10.31861/bmj2023.02.03
[2] Евтухов В.М., Самойленко А.М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений.Український математичний журнал 2010, 62 (1), 52–80.
[3] Евтухов В.М., Черникова А.Г. Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью. Journal of Mathematical Sciences 2019, 236 (3), 284–299. doi:10.1007/s10958-018-4111-7
[4] Belozerova M.A., Gerzhanovskaya G.A. Asymptotic representations of solutions with slowly varying derivatives of essentially nonlinear ordinary differential equations of the second order. Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics 2019, 77, 1–12.
[5] Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular Variation. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
[6] Evtukhov V., Chernikova A. Asymptotic of Slowly Varying Solutions of Ordinary Binomial Differential Equations of the Second Order with Rapidly Varying Nonlinearity. Journal of Mathematical Sciences 2018, 228 (3), 207–225. doi:10.1007/s10958-017-3616-9
[7] Mari´c V. Regular variation and differential equations. In: Dold A., Eckmann B. (Eds.) Lecture Notes in Mathematics, 1726. Springer-Verlag, Berlin, 2000.