Стаття пропонує узагальнення класичної рейтингової системи Ело для багатокористувацьких середовищ і застосовує методи оптимізації для визначення оптимальної конфігурації моделі. Запропонований підхід представляє взаємодії між багатьма агентами як набір попарних порівнянь і формулює задачу оцінювання рейтингів як мінімізацію логістичної функції втрат. Така формулювання дає змогу отримати аналітичні вирази для оновлення рейтингів на основі градієнтів, що використовуються для пошуку оптимальних гіперпараметрів, забезпечуючи плавнішу та стабільнішу динаміку навчання порівняно з класичною системою Ело.

Вводиться додатковий адаптивний коефіцієнт оновлення, який залежить від кількості взаємодій і кількості агентів, задіяних у кожній події. Така нормалізація допомагає запобігти надмірному зсуву рейтингів у великих наборах даних і пом’якшує надмірне згладжування, коли обсяг даних або кількість агентів є невеликими. У статті також розглядаються принципи ініціалізації рейтингів нових агентів і динамічного коригування швидкості навчання на основі накопиченої інформації для кожного агента, що дає змогу системі швидше зближуватися до точних рейтингових значень і покращує загальну стабільність та інтерпретованість.

Градієнтний спуск використовується для пошуку оптимальних значень гіперпараметрів шляхом мінімізації функції втрат і автоматичного вибору відповідних параметрів. Це дає змогу системі формувати точніші рейтингові оцінки й, відповідно, забезпечувати кращі прогнози майбутніх взаємодій.

Запропонована система легко адаптується до середовищ із багатосторонніми взаємодіями, зберігаючи повну сумісність зі сценаріями бінарних порівнянь. За потреби її можна розширити додатковими гіперпараметрами для врахування специфіки конкретної доменної області.

Модель демонструє переваги поєднання класичної рейтингової методології з сучасними методами оптимізації й може ефективно застосовуватися у спортивних, ігрових та освітніх системах, де важливими є точність, адаптивність до складних сценаріїв та інтерпретованість.

[1] Andrytsuliak T. L., Martyniuk S. V. Elo system parameters optimization using gradient descent. World of scientific research 2025, 40, 55–63. (in Ukrainian)
[2] Angelini G., Candila V., De Angelis L. Weighted Elo rating for tennis match predictions. European Journal of Operational Research 2022, 297 (1), 120–132. doi:10.1016/j.ejor.2021.04.011
[3] Bradley, R. A., Terry, M. E. Rank analysis of incomplete block designs: I. the method of paired comparisons. Biometrika 1952, 39 (3/4), 324–345. doi:10.1093/biomet/39.3-4.324
[4] Elo A. E. The Rating of Chess Players, Past and Present. Arco Publishing, New York, 1978.
[5] Franceschi L., Donini M., Frasconi P., Pontil M. Forward and reverse gradient-based hyperparameter optimization. In: International conference on machine learning. PMLR, 2017. p. 1165-1173.
[6] Glickman, M. E. Parameter estimation in large dynamic paired comparison experiments. Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics) 1999, 48 (3), 377–394. doi:10.1111/1467-9876.00159 
[7] Hvattum L. M., Arntzen H. Using ELO ratings for match result prediction in association football. International Journal of Forecasting 2010, 26 (3), 460–470. doi:10.1016/j.ijforecast.2009.10.002
[8] Moore, J., Dottle, R., and Paine, N. Who’s the best formula one driver of all time? 2018, https://fivethirtyeight.com/features/formula-one-racing/.

[9] Powell B. Generalizing the Elo rating system for multiplayer games and races: why endurance is better than speed. Journal of Quantitative Analysis in Sports 2023, 19 (3), 223–243. doi:10.1515/jqas-2023-0004
[10] Vovk V. The fundamental nature of the log loss function. Fields of Logic and Computation II: Essays dedicated to Yuri Gurevich on the Occasion of His 75th Birthday, 2015, 307-318.
[11] Weng, R. C., Lin, C.-J. A Bayesian approximation method for online ranking. Journal of Machine Learning Research 2011, 15 (2), 109–144. doi:10.1093/biomet/39.3-4.324