Розглядається задача Коші для рівняння ізотропної супердифузії з оператором Рісса дробового диференціювання порядку $\alpha\in(0;2)$, яке узагальнює класичне рівняння теплопровідності. Такі моделі застосовуються при описі перенесення енергії та маси у фрак\-тальних і пористих середовищах, плазмових системах та інших складних структурах з аномально швидким поширенням. Оператор Рісса є генератором симетричних $\alpha$-стійких процесів Леві, тому розв'язок задачі Коші може інтерпретуватися як густина ймовірності відповідного стохастичного процесу.

У класі обмежених гладких функцій встановлено існування класичного розв’язку задачі у випадку, коли початкова умова допускає скінченну кількість інтегровних розривів другого роду.

[1] Bucur C., Valdinoci E. Nonlocal diffusion and applications. Lect. Notes Unione Mat. Ital. 20, Springer, Berlin. 2016. doi:10.1007/978-3-319-28739-3
[2] Eidelman S., Ivasyshen S., Kochubei A. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Operator Theory: Adv. and Appl. 152. Birkhauser Verlag, Basel. 2004.
[3] Ibe O. C. Markov processes for stochastic modeling. 2nd Edition. Elsevier, Amsterdam. 2013. doi.org/10.1016/C2012-0-06106-6
[4] Knopova V. P., Kochubei A. N., Kulik A. M. Parametrix methods for equations with fractional Laplacians. V. 2 Fractional Differential Equations. De Gruyter, Boston, (2019), 267–298. doi.org/10.1515/9783110571660-013
[5] Kochubei A. N. Parabolic pseudodifferential equations, hypersingular integrals, and Markov processes, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 52 (1988), no. 5, 909–934.
[6] Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of function theory and functional analysis. Dover Publications, New York. 1999.
[7] Litovchenko V. A. Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation, Ukr. Math. J., 57 (2005), 1937–1956. https://doi.org/10.1007/s11253-006-0040-6
[8] Litovchenko V. A. The Cauchy problem and distribution of local fluctuations of one Riesz gravitational field. Fract. Calc. Appl. Anal. 25, 668–686 (2022). https://doi.org/10.1007/s13540-022-00034-2
[9] Litovchenko V. A. Classical Solutions of the Equation of Local Fluctuations of Riesz Gravitational Fields and their Properties, Ukr. Math. J., 74 (2022), 69–86. https://doi.org/10.1007/s11253-022-02048-8
[10] Litovchenko V. A. Local Polya Fluctuations of Riesz Gravitational Fields and the Cauchy Problem, Carpathian Math. Publ., 15 (2023), 222–235. https://doi.org/10.15330/cmp.15.1.222-235
[11] Reynolds A. Liberating Levy walk research from the shackles of optimal foraging, Phys. Life Rev., 14 (2015), 59–83.
[12] Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications, Science and technology, Minsk. 1987. (in Russian)
[13] Sun H., Zhang Y., Baleanu D., Chen W., Chen Y. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 64 (2018), 213–231. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.019
[14] Uchaikin V. V. Fractional derivatives method, Artishok, Ulyanovsk. 2008.
[15] Uchaikin V., Sibatov R. Fractional Kinetics In Space: Anomalous Transport Models. World Scientific, Singapore. 2017. https://doi.org/10.1142/10581

[16] Viswanathan G. M., Afanasyev V., Buldyrev S. V., Havlin S., Luz M. G., Raposo E. P., Stanley H. E. Levy flights in random searches, Phys. A., 282 (2000), no. 1-2, 1–12. doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6
[17] Zolotarev V. M. One-dimensional stable distributions, Nauka, Moscow. 1983.