Орієнтовані множини — це найпростіші математичні структури, які моделюють сукупності еволюціонуючих об’єктів. Дана робота присвячена проблемі існування внутрішнього часу на синхронізованій орієнтованій множині. З інтуїтивного погляду внутрішній — це такий час, хід якого можна ``спостерігати і фіксувати'' ``живучи всередині'' орієнтованої множини. В роботі доведено, що отримана в попередніх роботах достатня ознака існування і єдиності внутрішнього часу на синхронізованій орієнтованій множині не є необхідною, а також встановлено одну необхідну ознаку існування внутрішнього часу на синхронізованій орієнтованій множині і показано, що ця ознака не є достатньою.

[1 ] David Hilbert. Mathematical problems. Bull. Amer. Math. Soc, 8:437–479, 1902. URL: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1902-00923-3.
[2 ] Yu.I. Petunin and D.A. Klyushin. A structural approach to solving the 6th Hilbert problem. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 71(71):165–179, 2005. doi:10.1090/S0094-9000-05-00656-3.
[3 ] A.N. Gorban. Hilbert’s sixth problem: the endless road to rigour. Phil. Trans. R. Soc. A, 376(2118):20170238, 2018. URL: http://dx.doi.org/10.1098/rsta.2017.0238. 

[4 ] L. Corry. Hilbert’s sixth problem: between the foundations of geometry and the axiomatization of physics. Phil Trans R Soc A, 376(2118), 2018. doi:10.1098/rsta. 2017.0221.
[5 ] L. Accardi. Quantum probability and Hilbert’s sixth problem. Phil Trans R Soc A, 376(2118), 2018. doi:10.1098/rsta.2018.0030.
[6 ] S. Majid. On the emergence of the structure of physics. Phil Trans R Soc A, 376(2118), 2018. doi:10.1098/rsta.2017.0231.
[7 ] M. Slemrod. Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit. Phil Trans R Soc A, 376(2118), 2018. doi:10.1098/rsta.2017.0222.
[8 ] G. M. D’Ariano. The solution of the sixth Hilbert problem: the ultimate Galilean revolution. Phil Trans R Soc A, 376(2118), 2018. doi:10.1098/rsta.2017.0224.
[9 ] Adonai S. Sant’Anna. The definability of physical concepts. Bol. Soc. Parana. Mat. (3), 23(1-2):163–175, 2005. URL: http://dx.doi.org/10.5269/bspm.v23i1-2.7471, doi:10.5269/bspm.v23i1-2.7471.
[10 ] Newton C. A. da Costa and F. Antonio Doria. Janus–Faced Physics: On Hilbert’s 6th Problem. In Randomness and Complexity, From Leibniz to Chaitin, page 25–68. World Scientific, 2007. doi:10.1142/9789812770837_0003.
[11 ] A.P. Levich. Time as variability of natural systems: ways of quantitative description of changes and creation of changes by substantial flows. In On the Way to Understanding the Time Phenomenon: the Constructions of Time in Natural Science (Part 1), chapter 5, page 149–192. World Scientific, 1995. URL: http://www.chronos.msu.ru/old/EREPORTS/levich1.pdf, doi:10.1142/9789812832092_0010. 
[12 ] Michael Barr, Colin Mclarty, and Charles Wells. Variable Set Theory. page 1–12. 1986. URL: http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/vst.pdf.
[13 ] John L. Bell. Abstract and Variable Sets in Category Theory, page 9–16. Polimetrica International Scientific Publisher, 2006. URL: http://publish.uwo.ca/~jbell/Bell2.pdf. 
[14 ] F. William Lawvere and Robert Rosebrugh. Sets for Mathematics. Cambridge UniversityPress, 2003.
[15 ] Я.I. Грушка. Мiнливi множини та їх властивостi. Доповiдi Нацiональної академiї наук України, (5):12–18, 2012. URL: https://www.researchgate.net/publication/236120448. 
[16 ] Я.I. Грушка. Примiтивнi мiнливi множини та їх властивостi. Математичний вiсник НТШ, 9:52–80, 2012. URL: https://www.researchgate.net/publication/236120647. 

[17 ] Я.I. Грушка. Базовi мiнливi множини та математичне моделювання еволюцiї систем. Укр. мат. журн., 65(9):1198–1218, 2013. URL: http://umj.imath.kiev.ua/article/?lang=ua&article=8385, doi:10.1007/s11253-014-0862-6.  
[18 ] Я.I. Грушка. Видимiсть у мiнливих множинах. Збiрник праць Iнституту математики НАН України, 9(2):122–145, 2012. URL: https://www.researchgate.net/publication/236217050. 
[19 ] Ya.I. Grushka. Draft introduction to abstract kinematics. (Version 2.0). page 1–208. Preprint: ResearchGate, 2017. URL: https://doi.org/10.13140/RG.2.2.28964. 27521.
[20 ] Я.I. Грушка. Теоретико-множиннi методи в релятивiстськiй кiнематицi. Iнститут математики НАН України (Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук), Київ, 2023. URL: http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.18858.12481.