У роботі вводиться в розгляд і вивчається одна неперервна функція, що є проєктором цифр класичного двійкового зображення чисел в цифри ланцюгового $A_2$-зображення з нульовою надлишковістю, а саме функція виду:
\[f(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2^n})=
1/2^{\alpha_1-1}+1/2^{-\alpha_2}+1/2^{\alpha_3-1}+1/2^{-\alpha_4}+...+
1/2^{\alpha_{2k-1}-1}+1/2^{-\alpha_{2k}}+..., \alpha_n\in \{0;1\}.\]
В роботі обґрунтовується коректність означення функції  $f$, яка могла бути порушена через існування чисел, що мають два формально різні двійкові зображення, доводиться її неперервність та монотонність. Використовуючи нормальні властивості чисел за їх двійковим зображенням (властивості, якими володіють зображення чисел множини повної міри Лебега)  і теорему Лебега, яка констатує існування  майже скрізь скінченної похідної у неперервної монотонної функції, доводиться сингулярність функції $f$.  Під сингулярною функцією розуміється неперервна функція, відмінна від константи, похідна якої рівна нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега.

У статті висвітлюється взаємозв'язок розглядуваної функції, оператора правостороннього зсуву цифр та інверсора цифр ланцюгового зображення чисел. На основі даного взаємозв'язку обгрунтовується сингулярність інверсора цифр ланцюгового зображення чисел.

[1] Dmytrenko S.O., Kyurchev D.V., Prats’ovytyi M.V. A2-continued fraction representation of real numbers and its geometry // Ukrainian Mathematical Journal. — 2009. — №4. — P. 541-555. https://doi.org/10.1007/s11253-009-0236-7
[2] Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Y.V., Lysenko I.M., Ratushniak S. P. Continued A2-fractions and singular functions. Matematychni Studii, 2022, 58(1), doi: 10.30970/ms.58.1.3-12.
[3] Pratsiovytyi M., Goncharenko Ya., Lysenko I., Ratushniak S. Finite A2-continued fractions in the problems of rational approximations of real numbers Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, vol. 75, no. 6, June 2023, pp. 849-858.
[4] Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the random variable defined by A2- continued fraction with independent elements // Random Oper. Stochastic Equations, 2009, Vol. 17., no. 1. –– P.91-101.
[5] Pratsiovytyi M.V., Kyurchev D.V. Singularity of the distribution of a random variable represented by an A2-continued fraction with independent elements. Theory of Probability and Mathematical Statistics. 2010. Vol. 81. С. 159 — 175.
[6] Pratsiovytyi M., Makarchuk O. On some metric results for representation numbers by continued A2- fractions, 2025. Bukovinian Mathematical Journal, V.13, No.1., 100-108,doi10.31861/bmj2025.01.09.
[7] Pratsiovytyi M., Chuikov A. Continuous distributions whose functions preserve tails of an A2-continued fraction representation of numbers // Random Operators and Stochastic Equations, 2019. Vol. 27(3), pp. 199-206.
[8] Salem R. On some singular monotonic functions with are stricly increasing. Trans. Amer. Math. Soc. 1943, 53, 423–439.
[9] Seidel L. Untersuchungen ¨uber die Konvergenz and Divergenz der Kettenbr¨uche. — M¨unchen: Habilschrift, 1846.
[10] Працьовитий М.В. Двосимвольнi системи кодування чисел та їх застосування. К.: Наукова думка, 2022.– 316 с.
[11] Працьовитий М.В., Косопльоткiна О.В. Фрактальнi властивостi суперпозицiї сингулярних функцiй розподiлу. Теорiя ймовiрностей та математична статистика. 2002. Вип. 67. С. 122–129.

[12] Працьовитий М.В., Чуйков А.С. Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах негатрiйкових i ланцюгових A2-дробiв. Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 2018, Т.15, № 1. С. 147-161.
[13] Ратушняк С.П. Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах ланцюгового A-зображення чисел. Буковинський математичний журнал. 2023; 11(2). https://doi.org/https://doi.org/10.31861/bmj2023.02.23