У роботі розглядається зображення чисел у системі з основою $a>1$ і алфавітом (набором цифр) $A\equiv\{0,1,...,r\}$, $a-1<r\in N$:
\[x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{a^n}\equiv
\Delta^{r_a}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...}, \alpha_n\in A.\] За рахунок надлишкового алфавіту числа відрізка $[0;\frac{r}{a-1}]$ мають, взагалі кажучи, не єдине зображення і навіть можуть мати континуальну множину різних зображень.

Геометрію (тополого-метричні властивості) такого зображення ($r_a$-зображення) розкривають циліндри:
\[\Delta^{r_a}_{c_1c_2...c_m}=
\{x: x=\Delta^{r_a}_{c_1c_2...c_ma_1a_2...a_n...},  a_n\in A\},\] властивості яких, включаючи специфіку перекриттів, детально висвітлено.

В роботі представлено результати дослідження структурних, варіаційних, тополого-метричних і частково фрактальних властивостей функції, означенної рівністю:
\[f(x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{(r+1)^n})=
\Delta^{r_a}_{\alpha_1\alpha_2...\alpha_n...},\alpha_n \in A.\]
Доведено її неперервність в точках відрізка $[0;1]$, які в традиційній системі числення з основою $(r+1)$ мають єдине зображення, і розривність у точках зліченної всюди щільної в $[0;1]$ множини, а також ніде не монотонність та необмеженість варіації функції.

Для випадку $r=1$, $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ вказані фрактальні множини рівнів з розмірністю Гаусдорфа-Безиковича не меншою $-\log_a2$.

[1] A. Renyi Representations for real numbers and their ergodic properties, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 8 (1957), 477-493.
[2] W. Parry On the  -expansions of real numbers, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 11 (1960),401-416.
[3] Pratsiovytyi M.V. Two symbol encodign of real numbres and its aplications. Nauk. Dumka, Kyiv 2022, 316 p.
[4] Goncharenko Ya.V., Mykytiuk I.O Representations of real numbers in numeral systems with redundant set of digits and their applications. Nauk. Chasop. Nats. Pedagog. Univ. Mykhaila Dragomanova. Ser 1. Fiz.-Mat. Nauky, 2004, 5, 255–275. (in Ukrainian).
[5] Derong Kong, Wenxia Li, Fan Lu, Zhiqiang Wang, Jiayi Xu Univoque bases of real numbers: Local dimension, Devil’s staircase and isolated points, Advances in Applied Mathematics, Volume 121, 2020,
[6] Zou Y., Lu J., Komornik V. Hausdorff dimension of multiple expansions. Journal of Number Theory, 2022, 233, pp.198-227. ff10.1016/j.jnt.2021.06.009
[7] Pratsiovytyi M.V., Ratushniak S.P. Singular distributions of random variables with independent digits of representation in numeral system with natural base and redundant alphabet. Matematychni Studii 2025, 63 (2), 199–209. doi:http://doi.org/10.30970/ms.63.2.199-209
[8] Pratsiovytyi M.V., Makarchuk O.P. Distribution of random variable represented by a binary fraction with three identically distributed redundant digits, Ukrainian Mathematical Journal 2022, 66 (1), 79–88
[9] Mykytyuk I.O, Pratsiovytyi M.V. The binary numeral system with two redundant digits and its corresponding metric theory of numbers, Scientific Notes of M.P. Dragomanov National Pedagogical University. Series: Physical and Mathematical Sciences, 2003, vol. 4, 270–290.
[10] Pratsiovytyi M.V. Convolutions of singular distributions, Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 1996, vol. 5 (5), 36–42.