В роботі розглядаються деякі метричні результати типу Леві-Хінчина для ланцюгового $A_{2}$-представлення дійсних чисел з алфавітом $\{\alpha_{1};\alpha_{2}\}$.
 Акцент здійснюється на використанні теорії динамічних систем, зокрема  теореми Біркхофа-Хінчина для динамічної системи з оператором лівостороннього зсуву   символів відповідного $A_{2}$-зображення дійсних чисел з алфавітом $\{\alpha_{1};\alpha_{2}\}$.

[1] Pratsiovytyi M.V. Two-character encoding systems for real numbers and their applications. Kyiv: Scientific Opinion, 316 (2022).
[2] Dajani K., Kraaikamp C. Ergodic theory of numbers. Mathematical Association of America,Washington, DC, 190 (2002).
[3] Dinaburg E, Sinai Ya. Statistics of solutions of the integral equation $ax-by = ±1$. Funct. Anal., Appl 1990. 24,№3, 1–13.
[4] Dmytrenko S., Kyurchev D., Pratsiovytyi M. Continued fraction $A_2$ representation of real numbers and its geometry. Ukr. Math. J 2009,61(4), 452–463. (in Ukrainian) DOI:10.1007/s11253-009-0236-7
[5] Knopp K. Mengentheoretische Behandlung einiger Probleme der diophantischen-Approximationen und der transfiniten Wahrscheinlichkeiten. Math. Annalen 1926, 85, 409–426.
[6] Khinchin A. Ya. Continued fractions. Chicago: The University of Chicago Press, 112 (1964).
[7] Khintchine A. Metrische Kettenbruchprobleme. Compositio Math. France 1935, 1, 361–382.
[8] Levy P. Sur les lois de probabilite dont dependent les quotients complets et incomplets dune fraction continue. Bull. Soc. Math. France 1929, 57, 178–194. DOI: 10.24033/bsmf.1150
[9] Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Singularity of the distribution of a random variable represented by a continued $A_2$-fraction with independent elements. Teor. Imovir. ta Matem. Statyst 2009, 81, 139–154. (in Ukrainian)
[10] Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the random variable defined by $A_2$- continued fraction with independent elements. Random Oper. Stochastic Equations 2009, 17(1), 91–101. DOI:10.1515/ROSE.2009.006
[11] Ryll-Nardzewski C. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions). Studia Mathematica 1951, 12, 74–79.
[12] Seidel L. Untersuchungen $\ddot{u}$ber die Konvergenz und Divergenz der Kettenbr$\ddot{u}$che. Habilschrift, M$\ddot{u}$nchen (1846).
[13] Stern M. $\ddot{U}$ber die Kennzeichen der Konvergenz eines Kettenbruchs. Journal f$\ddot{u}$r die Reine und Angewandte Mathematik 1848, 37, 255–272.