Дослідження присвячене виродженим параболічним рівнянням з блочною структурою, які за певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. У цій праці сформульовано спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних на коефіцієнти таких рівнянь, за яких доведено існування класичного фундаментального розв'язку задачі Коші, отримано оцінки для нього та його похідних, доведено властивості такі, як нормальність, формулу згортки, єдиність. Також отримано коректну розв'язність задачі Коші у спеціальних вагових просторах та інтегральні зображення класичних розв'язків однорідних рівнянь у вигляді інтегралів Пуассона від функцій або узагальнених мір, якими задається початкова умова. Описано класи коректності задачі Коші. Отримані результати можна використати у подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь.

[1] Dron V.S., Medynskyi I.P. On fundamental solution of the Cauchy problem for ultra-parabolic equations in the Asian options models. Math. Modeling and Computing 2024, 11 (2), 593–606. https://doi.org/10.23939/mmc2024.02.593
[2] Kolmogoroff A. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung). Ann.Math. 1934, 35, No.1, 116–117. – https://doi.org/10.2307/1968123
[3] Pascucci A. Kolmogorov Equations in Physics and in Finance. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications: Birkhäuser Verlag Basel, Switzerland 2005, 63, 313–324.
[4] Frentz M., Nyström K., Pascucci A., Polidoro S. Optimal regularity in the obstacle problem for Kolmogorov operators related to American Asian options. Math. Ann. 2010, 347, 805–838. doi: 10.1007/s00208-009-0456-z
[5] Protsach N.P., Ptashnyk B.Yo. Nonlinear ultraparabolic equations and variational inequalities, Naukova dumka, Kyiv, 2017, 278 p. (in Ukrainian).
[6] Ivasyshen S.D., Layuk V.V. Cauchy problem for some degenerated parabolic equations of Kolmogorov type. Mat. Metody i Fiz.-Mekh. Polya 2007, 50 (3), 56–65 (in Ukrainian).
[7] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Birkh¨auser. Basel 2004, Ser. Operator Theory: Adv. and Appl., Vol. 152. https://doi.org./10.1007/978-3-0348-7844-9.
[8] Ivasyshen S.D., Medynskyi I.P. The fundamental solution of the Cauchy problem for generated parabolic Kolmogorov type equations of arbitrary order. Mat. Metody i Fiz.-Mekh. Polya 2019, 62 (1), 7–24 (in Ukrainian).
[9] Dron V.S., Medynskyi I.P. Cauchy problem for ultra-parabolic equations of Kolmogorov type with block structure. Bukovinian Math. Journal 2024, 12 (1), 43–62 (in Ukrainian).