Розглядається скінченний клас функцій, визначених параметрами $e_0,e_1,e_2$, що належать множині $A=\{0,1\}$, цифри нескінченного ланцюгового $A_2$-зображення аргумента $$x=\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+_{\ddots}}}\equiv
\Delta^A_{a_1...a_n...},$$
де $\alpha_n\in \{\frac{1}{2};1\}$, $a_n=2\alpha_n-1$, $n\in N$, і значення функції яких перебувають у рекурентній залежності, а саме:
$$f(x=\Delta^A_{a_1...a_{2n}...})=\Delta^A_{b_1b_2...b_n...},$$
\begin{equation*}
b_1=\begin{cases}
e_0 &\mbox{ при } (a_1,a_2)=(e_1,e_2),\\
1-e_0 &\mbox{ при } (a_1,a_2)\neq(e_1,e_2),
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
 b_{k+1}=\begin{cases}
b_k &\mbox{ при } (a_{2k+1},a_{2k+2})\neq(a_{2k-1},a_{2k}),\\
1-b_k &\mbox{ при } (a_{2k+1},a_{2k+2})=(a_{2k-1},a_{2k}).
\end{cases}
\end{equation*}
 У статті обґрунтовується коректність означення функції, її неперервність та ніде не монотонність. Вивчено варіаційні властивості функції та доведено необмеженість її варіації.

[1] S. O. Dmytrenko, D. V. Kyurchev, M. V. Prats’ovytyi $A_2$-continued fraction representation of real
numbers and its geometry // Ukrainian Mathematical Journal. — 2009. — №4. — P. 541-555.
https://doi.org/10.1007/s11253-009-0236-7
[2] M.V. Pratsiovytyi, Ya.V. Goncharenko, S.O. Dmytrenko, I.M. Lysenko, S.P. Ratushniak, About one
class of function with fractal properties // Bukovynian Mathematical Journal. 2021, T. 6, № 1 —
P.273–283. (in Ukrainian)
[3] Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Ya.V., Lysenko I.M., Ratushniak S.P. Continued $A_2$-fractions and
singular functions // Mat. Stud., 58, 2022. — С.3–12.
[4] Pratsiovytyi M.V., Chuikov A.S. Continuous distributions whose functions preserve tails of A-continued
fraction representation of numbers// Random Operators and Stochastic Equations. 2019. Vol. 27 (3).
Pp. 199–206.
[5] Працьовитий М. В. Двосимвольнi системи кодування дiйсних чисел та їх застосування. — Київ:
Наукова думка, 2022. — 316с.
[6] Працьовитий М.В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // Науковий часопис НПУ iменi
М.П.Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки, 2011.— №12. — С. 24–36.
[7] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. — Київ: НПУ
iменi М.П.Драгоманова, 1998. — 296 с.

[8] Працьовитий М.В., Ратушняк С.П. Неперервна нiде не диференцiйовна функцiя з фрактальними
властивостями, визначена в термiнах $Q_2$-зображення // Нелiнiйнi коливання, Т.23. №2, 2020. —
С.231–252.
[9] Працьовитий М.В., Чуйков А.С. Неперервна нiде не монотонна функцiя, означена в термiнах
нега-трiйкових i ланцюгових $A_2$-дробiв. Зб. праць Iн-ту математики НАН України. 2018. Т.15, №
1. С. 147–161.