У роботі розглядається система двох диференціальних рівнянь із кубічними многочленами у правих частинах, для якої змінні та коефіцієнти набувають дійсних значень. Для цієї системи точка (0,0) є критичним типом центра або фокуса. Актуальною є проблема розрізнення цих типів (проблема центра).У роботі розглядається система двох диференціальних рівнянь із кубічними многочленами у правих частинах, для якої змінні та коефіцієнти набувають дійсних значень. Для цієї системи точка (0,0) є критичним типом центра або фокуса. Актуальною є проблема розрізнення цих типів (проблема центра). Початок координат є центром тоді і тільки тоді, коли всі ляпуновські величини $L_1, L_2, ..., L_n, ... $ рівні нулю. У випадках, коли система має чотири (три) різні афінні прямі у працях О. Шубе і Д. Козьми показано, що точка (0,0) є центр тоді і тільки тоді, коли анулюються перші дві (сім) ляпунівські величини.

У цих роботах під час розгляду проблеми центру не враховувалася кратність лінії на нескінченності $(m(l_\infty))$ та афінних інваріантних) прямих $((m(l_j))$. У даній статті ця задача розв'язана за наявності дійсної афінної інваріантної прямої $l_1$, здійснено класифікацію систем, для яких $m(l_\infty)+ m(l_1) \geq 4$, і доведено, що початок координат є центром лише за рівності нулю перших чотирьох ляпуновських величин. При доведенні використовуються методи інтегровності Дарбу, оборотності Желондека та узагальненої симетрії Черкаса. Наведено приклади, що вказують на суттєвість вимоги$L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = 0$.

[1] Amelkin V.V., Lukashevich N.A., Sadovskii A.P. Non-linear oscillations in the systems of second order. Belorusian University Pres. Minsk. 1982 (in Russian).
[2] Bujac C., Schlomiuk D. and Vulpe N. Configurations of invariant straight lines of the type (2, 2, 1, 1) for a family of cubic systems. In: Proc. of the Fifth Conf. of Math. Soc. of the Rep. of Moldova., Chisina˘u, 2019, 24–27.
[3] Bujac C., Vulpe N. Cubic systems with invariant straight lines of total multiplicity eight and with three distinct infinite singularities. Qual. Theory Dyn. Syst. 2015, 14 (1), 109–137.
[4] Bujac C., Vulpe N. Cubic systems with invariant lines of total multiplicity eight and with four distinct infinite singularities. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2015, 423 (2), 1025–1080.
[5] Christopher C., Llibre J., Pereira J.V. Multiplicity of invariant algebraic curves in polynomial vector fields. Pacific J. of Math. 2007, 229 (1), 63–117.
[6] Cozma D. Integrability of cubic systems with invariant straight lines and invariant conics. Stiinta, Chisina˘u, 2013.
[7] Cozma D., Suba˘ A. Partial integrals and the first focal value in the problem of centre. Nonlin. Diff. Equ. and Appl. 1995, 2, 21–34.
[8] Cozma D., Suba˘ A. The solution of the problem of center for cubic differential systems with four invariant straight lines. An. Stiint. Univ. "Al. I. Cuza" (Iasi). 1998, 44, suppl., 517–530.
[9] Dulac H. Determination et integration d’une certaine classe d’equations differentielles ayant pour point singulier un centre. Bull. Sciences Math. 1908, 32, 230–252.
[10] Kooij R. Cubic systems with four line invariants, including complex conjugated lines. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1995, 118 (1), 7–19.
[11] Llibre J. and Vulpe N. Planar cubic polynomial differential systems with the maximum number of invariant straight lines. Rocky Mountain J. Math. 2006, 36 (4), 1301–1373.
[12] Lyapunov A.M. The general problem of the stability of motion. Gostekhizdat, Moscow, 1950 (in Russian).
[13] Lyubimova R.A. About one differential equation with invariant straight lines. Differential and integral equations, Gorky Universitet. 1984, 8, 66–69; 1997, 1, 19-22 (in Russian).
[14] Putuntica˘ V., Suba˘ A. The cubic differential system with six real invariant straight lines along two directions. Studia Universitatis. 2008, no 8(13), 5–16.
[15] Putuntica˘ V., Suba˘ A. The cubic differential system with six real invariant straight lines along three directions. Bulletin of ASM. Mathematics. 2009, no 2(60), 111–130.
[16] Repesco V. Cubic systems with degenerate infinity and straight lines of total parallel multiplicity six. ROMAI J. 2013, 9 (1), 133–146.
[17] Romanovski V.G., Shafer D.S. The center and cyclicity problems: a computational algebra approach. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 2009.
[18] Sadovskii, A. P. On conditions for a center and focus for nonlinear oscillation equations. Differentsial’nye Uravneniya. 1979, 15 (9), 1716–1719 (in Russian).
[19] Schlomiuk D. Elementary first integrals and algebraic invariant curves of differential equations. Expositiones Mathematicae. 1993, 11, 433-454.
[20] Sibirski K. The number of limit cycles in the neighborhood of a singular point. Diff. Uravneniya. 1965, 1 (1), 51-66 (in Russian).
[21] Suba˘ A. Solution of the center problem for cubic systems with a bundle of three invariant straight lines. Bulletin of ASM. Mathematics. 2003, no 1(41), 91–101.
[22] Suba˘ A. Center problem for cubic differential systems with the line at infinity of multiplicity four. Carpathian. J. Math. 2022, 38, no 1, 217–222.
[23] Suba˘ A., Cozma D. Solution of the problem of the center for cubic system with two homogeneous and one non-homogeneous invariant straight lines. Bulletin of ASM. Mathematics. 1999, no 1(29), 37–44.
[24] Suba˘ A., Cozma D. Solution of the problem of the centre for cubic system with three invariant straight lines two of which a parallel. Bulletin of ASM. Mathematics. 2001, no 2(36), 75–86.
[25] Suba˘ A. and Cozma D. Solution of the problem of the center for cubic differential system with three invariant straight lines in generic position. Qual. Theory of Dyn. Systems. 2005, 6, 45–58.
[26] Suba˘ A., Repesco V. Configurations of invariant straight lines of cubic differential systems with degenerate infinity. Scientific Bulletin of Chernivtsi University, Series "Mathematics". 2012, 2 (2-3), 177–182.
[27] Suba˘ A., Repesco V. Cubic systems with degenerate infinity and invariant straight lines of total parallel multiplicity five. Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold., Mat. 2016, no. 3(82), 38–56.
[28] Suba˘ A., Repesco V., Putuntica˘ V. Cubic systems with invariant affine straight lines of total parallel multiplicity seven. Electron. J. Diff. Equ. 2013, 2013 (274), 1–22. http://ejde.math.txstate.edu/
[29] Suba˘ A., Vacaras O. Cubic differential systems with an invariant straight line of maximal multiplicity. Annals of the University of Craiova. Mathematics and Computer Science Series. 2015, 42 (2), 427–449.
[30] Vacaras O. Cubic differential systems with two affine real non-parallel invariant straight lines of maximal multiplicity. Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold., Mat. 2015, no. 3(79), 79–101.
[31] Z˙oladek H. and Llibre J. The Poincare center problem. Journal of Dynamical and Control Systems. 2008, 14 (4), 505—535.