У роботi розгяладається параболiчне псевдодиференцiальне рiвняння з оператором Рiсса дробового диференцiювання порядку α ∈ (0;1), який дiє за просторовою змiнною. Це рiвняння природньо узагальнює вiдоме рiвняння фрактальної дифузiї суто дробового порядку. Воно виникає при математичному моделюваннi локальних завихрень нестацiонарних гравiтацiйних полiв Рiсса, спричинених рухомими об’єктами, взаємодiя мiж масами яких характеризується вiдповiдним потенцiалом Рiсса. Фундаментальний розв’язок задачi Кошi для цього рiвняння є щiльнiстю розподiлу ймовiрностей сили локальної взаємодiї мiж цими об’єктами, вiн вiдноситься до класу розподiлiв Пойя симетричних стiйких випадкових процесiв. За певних умов на коефiцiєнт локальних флуктуацiй поля, встановлено аналог принципу максиму для цього рiвняння, за допомогою якого обгрунтовано єдинiсть розв’язку задачi Кошi на часовому промiжку, де цей коефiцiєнт є неспадною функцiєю.

[1] Applebaum D. Levy Processes and stochastic calculus Cambridge: Cambridge University Press, 2009. https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781
[2] Bertoin J. Levy Processes, volume 121 of Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge: Cambridge University Press, 1996.
[3] Blumenthal R.M., Getoor R.K. Some theorems on stable processes Trans. Amer. math. Soc. 1960, 95, 263–273.
[4] Bucur C., Valdinoci E. Non-local diffusion and applications Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana 20, Springer, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-28739-3
[5] Drin’ Ya.M. Investigation of a class of parabolic pseudo-differential operators on classes of Holder continuous functions Dopovidi AN Ukr. SSR, Ser. A 1974, No. 1, 19-22 (Ukrainian).
[6] Drin’ Ya.M. and Eidelman S.D. Necessary and sufficient conditions for stabilization of solutions of the Cauchy problem for parabolic pseudo-differential equations In: Approximate Methods of Mathematical Analysis, Kiev Gos. Ped. Inst., Kiev 1974, 60–69 (Russian).
[7] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Equations of Parabolic Type Operator theory: Adv. and Appl., Birkhauser Basel 2004, 152.
[8] Fedoryuk M.V. Asymptotic properties of Green’s function of a parabolic pseudodifferential equation Diff. Equations 1978, 14, 923–927.
[9] Schneider W.R. Stable distributions: Fox function representation and generalization Lecture Notes Phus. 1986, 262, 497–511.
[10] Friedman A. PDE problems arising in mathematical biology Netw. Heterog. Media. 2012, 7 No. 4, 691–703. doi: 10.3934/nhm.2012.7.691
[11] Frostman O. Potentiel d’equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions Medd. Lunds Univ. Mat. Semin. 1935, 3, 1–118.
[12] Holtsmark J. Uber die Verbreiterung von Spektrallinier Annalen der Physik 1919, 58, 577–630.
[13] Jacob N. Pseudo differential operators and Markov Processes. In 3 vol. London: Imperial College Press,2001, 2002, 2005.
[14] Levy P. Calcul des probabilities Paris: Gauthier–Villars et Cie, 1925.
[15] Litovchenko V.A. Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation Ukr. Math. J. 2005, 57, 1937–1956. https://doi.org/10.1007/s11253-006-0040-6
[16] Litovchenko V.A. The Cauchy problem for one class of parabolic pseudodifferential systems with nonsmooth symbols Sib. Math. J. 2008, 49, 300–316. https://doi.org/10.1007/s11202-008-0030-z
[17] Litovchenko V.A. Holtsmark Fluctuations of Nonstationary Gravitational Fields Ukr. Math. J. 2021, 73 № 1, 69 -76. DOI 10.1007/s11253-021-01909-y
[18] Lizorkin P. Description of the spaces Lrp(Rn) in terms of difference singular integrals Math. Sb. 1970, 81 No. 1, 79–91 (Russian).
[19] Montefusco Eugenio, Pellacci Benedetta, and Verzini Gianmaria Fractional diffusion with Neumann boundary conditions: the logistic equation Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 2013, 18 No. 8, 217552202. doi: 10.3934/dcdsb.2013.18.2175
[20] Oliver Ibe Markov Processes for Stochastic Modeling. 2nd Edition Elsevier, 2013. https://doi.org/10.1016/C2012-0-06106-6
[21] Polya G. Herleitung des Gausschen Fehlergesetzes aus einer Funktionalgleichung Math. Z. 1923, 18, 96–108.
[22] Reynolds Andy Liberating Levy walk research from the shackles of optimal foraging Physics of Life Reviews 2015, 14, 59–83.
[23] Riesz M. Potentiels de divers ordres et leurs fonctions de Green C. R. Congre`s Intern. Math. Oslo 1936, 2, 62-63.
[24] Riesz M. Integrales de Riemann-Liouville et potentiels Acta Litt. Acad. Sci. Szeged. 1938, 9, 1–42.
[25] Samko S.G. Spaces of Riesz potentials Izv. AN SSSR. Ser. Math. 1976, 40 No. 5, 1143–1172 (Russian).
[26] Samko S.G., Kilbas A.A. and Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications Amsterdam: Gordon and Breach, 1993.
[27] Schwartz L. Theorie Des Distributions Hermann Paris, 1951.
[28] Sobolev S.L. On a theorem of functional analysis Math. Sb. 1938, 4 No. 3, 471–497 (Russian).
[29] Stein E. The characterisation of functions arising as potentials Bull. Amer. Math. Soc. 1961, 67 No. 1, 102–104.
[30] Thorin G. Convexiti theorems Comm. Semin. Math. L’Univ. Lund. Uppsala. 1948, 9, 1–57.
[31] Uchaikin V.V. Fractional Derivatives Method Ulyanovsk: Atrishok, 2008 (Russian).
[32] Viswanathan G.M., Afanasyev V., Buldyrev Sergey V., Havlin Shlomo, Luz M.G., Raposo E.P., Stanley H.Eugene Levy flights in random searches Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 2000, 282 No. 1-2, 1–12. https://doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6
[33] Zolotarev V.M. One-dimensional stable distributions Nauka, Moscow, 1983 (Russian).