Cингулярні збурення самоспряжених операторів досліджені майже повністю. Типовою моделлю такого збурення є оператор Лапласа збурений потенціалом типу $\delta$-функція Дірака. Збурення самоспряженого оператора несиметричним потенціалом є новим напрямом досліджень, породженим моделями з не локальною взаємодією. Такі збурення рангу один розглянуті у попередніх роботах. Ці дослідження вже узагальнені і на випадок збурення скінченого рангу, але класу ${\mathcal H}_{-1}$.

В роботі, сингулярні рангу один несиметричні збурення узагальнені на випадок скінченого рангу класу ${\mathcal H}_{-2}$. В цьому дослідженні наведено означення та дано опис резольвенти такого збурення в абстрактному гільбертовому просторі і для довільного початкового (необмеженого) самоспряженого оператора. Основні твердження роботи проілюстровані на чисельному прикладі.

[1] Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics. Second edition. With an appendix by Pavel Exner. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005.
[2] Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators; solvable Schrodinger type operators. Univ. Press, Cambridge, 2000.
[3] Albeverio S., Nizhnik L. Schrodinger operators with nonlocal point interactions. J. Math. Anal. Appl. 2007, 332, 884–895. doi:10.1016/j.jmaa.2006.10.070
[4] Albeverio S., Hryniv R., Nizhnik L. Inverse spectral problems for nonlocal Sturm-Liouville operators Inverse Problems 2007, 23. 523–535. doi:10.1088/0266-5611/23/2/005
[5] Vishik M.I. On general boundary-value problems for elliptic differential equation Trudy Moskow. Mat. Obshchestva 1952, 1, 187–246. (in Russian)
[6] Dudkin М.Е. Singularly perturbed normal operators, Ukrain. Mat. J. 1999, 51, (8), 1177–1187. doi: 10.1007/BF02592506 (translation of Ukrain. Mat. Zh. 1999 51, (8), 1045–1053. (Ukrainian))
[7] Dudkin M.E., Nizhnik L.P. Singularly perturbed normal operators Methods Funct. Anal. Topology 2010, 16, (4), 298–303.
[8] Dudkin M.E., Vdovenko T.I. Dual pair of eigenvalues in rank one singular perturbations Matematychni Studii 2017, 48, (2), 156–164. doi:10.15330/ms.48.2.156-164
[9] Dudkin M.E., Vdovenko T.I. On extensions of linear functionals with applications to non-symmetrically singular perturbations Methods Funct. Anal. Topology 2018, 24, (3), 193–206.
[10] Mityagin B.S. The Spectrum of a Harmonic Oscillator Operator Perturbed δ-Interactions Integr. Equ. Oper. Theory 2016, 85, 451–495. doi:10.1007/s00020-016-2307-0
[11] Kato T. Perturbation theory for linear operators. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 132, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1966. doi:10.1007/978-3-642-66282-9