Розглянуто двовимірну кубічну диференціальну систему

                                                                                                                $ \dot x = y + p_2(x,y) + p_3(x,y),\quad \dot y = -x +q_2(x,y) + q_3(x,y)$

 із особливою точкою $O(0; 0)$ і з чисто уявними коренями характеристичного рівняння $\lambda_{1,2}=\pm i$, де $p_j(x,y)$ и $q_j(x,y)$ однорідні многочлени степеня $j$. Для даної системи вивчено проблему розрізнення центра і фокуса за наявності однієї алгебраїчної інваріантної кривої третього порядку. У роботі отримані необхідні і достатні умови існування незвідної інваріантної кривої третього порядку $ a_{30}x^3+a_{21}x^2y+a_{12}xy^2+a_{03}y^3+x^2+y^2=0$, де $(a_{30}, a_{21}, a_{12}, a_{03})\not=0$.

Доведено, що якщо інваріантна крива має один із таких трьох виглядів $\Phi_1\equiv 2(2b - c + g + 3l)x^3 + 6ax^2y + 6(b + l)xy^2 - 3y^3 + 3(x^2 + y^2)=0$, $\Phi_2\equiv (24g - 4bf - 6b + 2cf + 3c + 16fg + 12gr)x^3 + 6(2a - 6f - 4r - 9)(4f + 3r + 6)x^2y + 3(4bf + 4br + 6b + 6cf + 4cr + 9c)xy^2 + 6(4f + 3r + 6)(x^2 + y^2 -y^3)=0 $, $\Phi_3\equiv ((4b+3c)x-15y)^3+3375(x^2+y^2)=0$, то кубічна диференціальна система має інтегруючі множники

                                                                                                                   $\mu=\Phi_1^{(2b-c)/(2l)}$, $\mu=\Phi_2^{-2(4f + 3r + 6)/(6f + 4r + 9)}$, $\mu=\Phi_3^{-5/3},$

 які визначені в деякому околі початку координат.

Для кубічної диференціальної системи з інтегруючим множником одержано три нові умови існування центра в особливій точці $O(0; 0)$.

[1] Amel’kin V. V., Lukashevich N. A., Sadovskii A. P. Non-linear oscillations in the systems of second order. Belarusian University Press, Belarus, 1982 (in Russian).
[2] Cozma D. The problem of the center for cubic systems with two parallel invariant straight lines and one invariant conic. Nonlinear Differ. Equ. and Appl., 2009, 16, 213–234. doi: 10.1007/s00030-008-7044-x
[3] Cozma D. Integrability of cubic systems with invariant straight lines and invariant conics. Știința, Chișinău, 2013.
[4] Cozma D., Darboux integrability and rational reversibility in cubic systems with two invariant straight lines. Electronic Journal of Differential Equations, 2013, 2013 (23), 1–19.
[5] Cozma D., Dascalescu A. Integrability conditions for a class of cubic differential systems with a bundle of two invariant straight lines and one invariant cubic. Buletinul Academiei de Științe a Republicii Moldova. Matematica, 2018, 86 (1), 120–138.
[6] Dascalescu A. Integrability of cubic differential systems with invariant straight lines and invariant cubics. PhD Thesis. Chișinău, 2019.
[7] Llibre J. On the centers of cubic polynomial differential systems with four invariant straight lines. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2020, 55 (2), 387–402. doi: 10.12775/TMNA.2020.004
[8] Lyapunov A.M. The general problem of stability of motion. Gostekhizdat, Moscow, 1950 (in Russian).
[9] Romanovski V.G, Shafer D.S. The center and cyclicity problems: a computational algebra approach. Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 2009.
[10] Sadovskii A.P., Shcheglova T.V. Solution of the center-focus problem for a nine-parameter cubic system. Differential Equations, 2011, 47 (2), 208–223. doi: 10.1134/S0012266111020078
[11] Șubă A., Cozma D. Solution of the problem of center for cubic differential systems with three invariant straight lines in generic position. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2005, 6, 45-58. doi:10.1007/BF02972667
[12] Turuta S. Solution of the problem of the center for cubic differential systems with three affine invariant straight lines of total algebraic multiplicity four. Buletinul Academiei de Științe a Republicii Moldova. Matematica, 2020, 92 (1), 89–105.