При знаходженнi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь потрiбно враховувати теореми про iснування та єдинiсть розв’язкiв рiвнянь. У випадку невиконання умов цих теорем методи знаходження розв’язкiв дослiджуваних рiвнянь, що використовуються в обчислювальнiй математицi, можуть давати хибнi результати. Також потрiбно враховувати те, що задача Кошi для диференцiальних рiвнянь може не мати розв’язкiв або мати нескiнченну множину розв’язкiв.
У статтi наведено отриманi автором два твердження про щiльнiсть множин задачi Кошi без розв’язкiв (у випадку нескiнченновимiрного банахового простору) i з багатьма розв’язками (у випадку довiльного банахового простору) у множинi всiх задач Кошi.
За допомогою двох прикладiв задачi Кошi для диференцiальних рiвнянь показано недосконалiсть деяких методiв обчислювальної математики для знаходження розв’язкiв дослiджуваних рiвнянь.

[1] Slyusarchuk V. On the denseness of sets of Cauchy problems withhout solutions and with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems. Proceedings of the international conference dedicated to the 100th anniversary of the blrth of Professor S. D. Eidelman “Modern problems of differential equations and their application”, Chernivtsi, Ukraine, September 16–19, 2020, Chernivtsi National University, Chernivtsi, 2020, 189–190.
[2] Nemytskiy V. V., Stepanov V. V. Qualitative theory of differential equations. Gostekhizdat, Moscow- Leningrad, 1949. (in Russian)
[3] Petrovsky I. G. Lectures on the theory of ordinary differential equations. Nauka, Moscow, 1970. (in Russian)
[4] Hartman P. Ordinary differential equations. John Wiley & Sons, New York-London-Sydney, 1964.
[5] Samoilenko A. M., Perestyuk M. O., Parasyuk I. O. Differential equations. Lybid, Kyiv, 2003. (in Ukrainian)
[6] Godunov A. N. Peano’s theorem in Banach spaces. Funct Anal its Appl. 1975, 9 (1) (59–60). DOI:10.1007/BF01078180 (in Russian)
[7] Dieudonneґ J. Deux exemples singuliers d’ґequvations diffeґrentielles. Acta. Sci. Math. 1950, 12 (Pats B) (38–40).
[8] Lobanov S. G. Peano’s theorem is false for any infinite dimensional Freґchet space. Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1994, 78 (1) (211–214). DOI:10.1070/SM1994v078n01ABEH003465 (in Russian)
[9] Shkarin S. A. Peano’s theorem fails for infinite-dimensional Freґchet spaces. Funct Anal its Appl. 1993, 27 (2) (149–151). DOI:10.1007/BF01085989 (translation of Funktsional’nyi Analiz i Ego Prilozheniya, 1993, 27, (2), 90–92)(in Russian)
[10] Lobanov S. G., Smolyanov O. G. Ordinary differential equations in locally convex spaces. Russian Math. Surveys. 1994, 49 (3) (97 175). DOI:10.1070/RM1994v049n03ABEH002258 (in Russian)
[11] Slyusarchuk V. E. Denseness of the set of unsolvable Cauchy problems in the set of all Cauchy problems in the case of an infinite dimensional Banach space. Nonlinear oscillations. 2002, 5 (1) (86 89). (in Russian)
[12] Kneser H. Ueber die LoЁsungen eines Systems gewoЁhnlicher Differentialgleichungen das der Lipschi- tzschen Begingung nicht genuЁgt. S.-B. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1923, (171 174).
[13] Slyusarchuk V. Yu. Cauchy problem with nonunique solutions. Scientific Bulletin of the University of Chernivtsi. Maths 2011, 1 (4) (117–118). (in Ukrainian)
[14] Slyusarchuk V. Yu. Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems. Ukr. Math. J. 2012, 64 (7) (1144–1150). DOI:10.1007/s11253-012-0705 2 (translation of Ukr. Mat. Zh. 2012, 64 (7), 1000–1006.) (in Ukrainian)
[15] Demidovich B. P., Maron I. A., Shuvalova E. Z. Numerical methods of analisis. Nauka, Moscow, 1967. (in Russian)