У статтi розглядається задача для лiнiйного iнтегро-функцiонального рiвняння iз заданим значенням шуканої функцiї за межами основного промiжку та обмеженнями (додатковими умовами) накладеними на шукану функцiю. Цi обмеження носять iнтегральний характер. Сформульовано основну та допомiжну задачi. Проведено поетапнi мiркування щодо взаємозв’язку цих задач. Стосовно величин, що входять у задану задачу вимагається, що вони задовольняють ряд необхiдних умов. Показано, що при виконаннi цих умов вихiдна задача буде рiвносильною деякому iнтегральному рiвнянню Фредгольма другого роду з цiлком неперервним оператором та додатковими умовами на шуканий розв’язок.

Крiм основної задачi розглянуто також допомiжну задачу – задачу з керуванням, коли у випадку сумiсностi вводиться додаткова, корегуючи величина. Сформульовано та обґрунтовано умови сумiсностi вихiдної задачi.

У роботi також приведено та обґрунтовано iтерацiйний, а саме метод послiдовних наближень та колокацiйно-iтеративний методи побудови наближених розв’язкiв вихiдної задачi з обмеженнями. Вказано алгоритми цих методiв та достатнi умови їх збiжностi. При цьому, використовуємо той факт, що вихiдна задача при виконаннi певних умов є рiвносильною iнтегральному рiвнянню з обмеженнями. Зокрема метод буде збiжним при деякому фiксованому $n$, якщо одиниця не буде точкою спектру iнтегрального оператора Т. Вузли колокацiї вибираються у залежностi вiд системи базисних функцiй. Приведенi методи побудови наближених розв’язкiв iнтегро-функцiонального рiвняння з додатковими умовами можна успiшно реалiзувати на комп’ютерах, створивши вiдповiднi програми. Слiд зазначити, що запропонованi методи побудови наближених розв’язкiв iнтегро- функцiонального рiвняння з додатковими умовами є достатньо ефективними. У подальшому можна перенести дослiдження такого характеру на крайову задачу для диференцiального рiвняння з вiдхиленням аргументу нейтрального типу.

[1] Heseleva K.H. Collocation-iterative method for solving linear integro-functional equations. Mathematical and computer modeling. Series: Physical and Mathematical Sciences: Coll. Science. pr. - Kamyanets Podilsky: Kamyanets-Podil. nat. Univ. I. Ogienko, 2017. Issue 16, 41-48.
[2] Heseleva K.H. Iterative method for solving integro-functional equations with additional conditions. Mathematical and computer modeling. Series: Physical and Mathematical Sciences: Coll. Science. pr. - Kamyanets-Podilsky: Kamyanets-Podil. I. Ogienko nat. Univ., 2018. textbf Issue 19, 42-50.
[3] Konet I.M., Heseleva K.H. Collocation and collocation-iterative methods for solving the integro-functional equation. Magazine "Bulletin of Brest University". Series 4. Physics. Mathematics. 2017, №2, 82–89.
[4] Krill S.O. Projection-iterative method for solving singular integro-functional equations. Scientific works of Kamyanets-Podilsky National University named after Ivan Ogienko: collection. following the report. Science. conf. lecturer, doctoral students and postgraduate students: vol. 9, in 5 vols. Kamyanets-Podilsky, 2010., Vol. 1, 74-76.
[5] Kurpel N.S. Projection-iterative methods for solving operator equations. Naukova Dumka, Kyiv, 1968.
[6] Luchka A.Y. Projection-iterative methods. Naukova Dumka, Kyiv, 1993.
[7] Luchka A.Y. Projection-iterative methods for solving linear differential and integral equations. Naukova Dumka, Kyiv, 1980.
[8] Luchka A.Y. Criteria for convergence of the projection-iterative method for nonlinear equations. (Preprint. Academy of Sciences of the USSR. Inst. Of Mathematics; 82.24), Kyiv, 1982.
[9] Polishchuk O.B. Conditions for compatibility of the problem with constraints for singular integral equations. Nonlinear oscillations. 2000, Vol. 4, 511-514.
[10] Samoilenko A.M. Differential equations with impulse action. Higher School, Kyiv, 1987.