Для диференціального рівняння другого порядку виду $y''=\alpha_0 p(t)\varphi_0(y)|y'|^{\sigma_1},$ де $\alpha_0\in\{-1,1\}$,$p:[a,\omega[\longrightarrow]0,+\infty[$-неперервна функція, $\varphi_0:\Delta_{Y_i}\longrightarrow ]0,+\infty[ \ $ -неперервна правильно змінна при $y\to Y_0 $ функція порядку $\sigma_0 $, причому $\sigma_0+\sigma_1 = 1$, $\Delta_{Y_i}$- односторонній окіл $Y_i$, $Y_i \in\{0,\pm \infty\}\; (i\in\{0,1\})$ розглянуто питання існування розв'язків, для яких $\lim_{t\uparrow\omega} y^{(i)}(t)=Y_i$ $(i\in\{0,1\})$.

Залучення у 80-х рр. XX ст. в працях V.Marič, M. Tomič при вивченні двочленних диференціальних рівнянь другого порядку з правильно змінними в нулі нелінійностями $y''=p(t)\varphi(y)$ дало змогу вказати двубічні оцінки розв'язків, що прямують до нуля при $t\rightarrow+\infty$. Подальше вивчання двочленних диференціальних рівнянь другого порядку з правильно змінними нелінійностями, права частина яких зберігає в околі особливій точки (як скінченній, так и рівній $\pm \infty$) знак, проведено на виділеному В.М.Євтуховим класі $P_\omega(\lambda_0)-$ розв'язків, що виникає при дослідженні узагальнених рівняннях Емдена - Фаулера $n-$го порядку. Серед множини розв'язків вивчаемого рівняяня відокремлюємо достатньо широкий клас т. з. $P_\omega(Y_0,Y_1,\lambda_0)$- розв'язків (узагальнення $P_\omega(\lambda_0)-$ розв'язків). Множина усіх $P_\omega(Y_0,Y_1,\lambda_0)-$ розв'язків за своїми асимптотичними властивостями розпадається на 4 непертинаючихся класів розв'язків, що відповідають наступним значенням $\lambda_0$: $\lambda_0\in \mathbb{R}\setminus\{0,1\}-$ неособливий випадок, $\lambda_0=0,$ $\lambda_0=1$, $\lambda_0=\pm \infty-$ особливі випадки. Такого типу розв'язки раніше було уведено при вивченні двочленного рівняння $ y''=\alpha_0p(t)\varphi_0(y)\varphi_1(y'),$ де $\alpha_0\in\{-1,1\}$, $p:[a,\omega[\longrightarrow]0,+\infty[$-неперервна функція, $\varphi_i:\Delta_{Y_i}\longrightarrow ]0,+\infty[ \ (i=0,1)$ неперервні правильно змінні при $z\to Y_i \ (i=0,1)$ функції порядків $\sigma_i \ (i=0,1)$, причому $\sigma_0+\sigma_1 \neq 1$. Випадок $\sigma_0+\sigma_1 =1$ відповідає т.з. полулінійним диференціальним рівнянням, яким притаманні властивості як лінійних, так и нелінійних диференціальних рівнянь. Так, для рівняння $y''=p(t)|y|^{1-\lambda}|y'|^\lambda \mbox{sgn}\;y$ при деяких обмеженнях на функцію $p$ (зокрема, якщо функція $p:[a,\omega[\longrightarrow]0,+\infty[$ зберігає знак, локально абсолютно неперервна і $\int_a^\omega p^{\frac{1}{2-\lambda}}(t)\;dt=+\infty,$ $ \lim_{t\rightarrow \omega}p'(t)p^{\frac{\lambda-3}{2-\lambda}}(t)=l_0 $ $ (|l_0|\leq+\infty),$

 В.М.Євтуховим знайдено асимптотичні зображення при $t\rightarrow \omega$ усіх типів правильних розв'язків цього рівняння. Тут для рівняння, що вивчаємо, знайдено необхідні, а також достатні умови існування $P_\omega(Y_0,Y_1,\lambda_0)$- розв'язків, встановлено асимптотичні зображення таких розв'язків та їх похідних першого порядку, вказано кількість параметричних сімей таких розв'язків.

[1] E. Seneta, Regularly varing functions. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 508. Springer-Verlag, Berlin- New York, 1976.
[2] Evtukhov V. M. The asymptotic behavior of the solutions of one nonlinear second-order differential equation of the Emden - Fowler type.dis.... cand. fiz.-mat. nauk: 01.01.02 . Odesa, 1998, 154 p. (in Russian)
[3] Evtukhov V. M. Asymptotics of solutions of second-order non-autonomous ordinary differential equations asymptotically close to linear. UMG, 2012, Vol. 64, No. 10, P. 1346-1364. (in Russian)
[4] Evtukhov V. M., Samoylenko A.M. Asymptotics of solutions of second-order non-autonomous ordinary differential equations asymptotically close to linear. UMG, 2012, Vol. 64, No. 10, P. 1346-1364. (in Russian)
[5] Kiguradze, I.T. and Chanturiya, T.A. Asimptotic Properties of Solutions of Nonautonomous Ordinary Differential Equations, Moscow, 1990, 430 p. (in Russian)
[6] Kusick L.I. Asymptotic representations of solutions of second-order nonlinear differential equations.dis.... cand. fiz.-mat. nauk: 01.01.02. Odesa, 2016, 145 p. (in Russian)