Згiдно з теоремою Банаха про обернений оператор для неперервної оборотностi лiнiйного неперервного оператора, що дiє з одного банахового простору в iнший, необхiдно i достатньо, щоб цей оператор був сюр’єктивним та iн’єктивним. Цих вимог навiть у випадку нелiнiйних операторiв достатньо для оборотностi вiдповiдних операторiв. Однак, оберненi оператори можуть не бути неперервними. Це стосується диференцiйовних вiдображень, для яких оберненi вiдображення можуть не бути диференцiйовними. Тому для оборотностi нелiнiйних операторiв потрiбне виконання додаткових вимог. Для диферецiйовного вiдображення такою вимогою є виконання умови невиродженостi похiдної Фреше вiдображення в кожнiй точцi простору, в якому дiє це вiдображення.
У статтi розглянуто нелiнiйнi автономнi диференцiальнi оператори класу $C^1$, що дiють iз простору обмежених i неперервно диференцiйовних на осi функцiй у простiр обмежених i неперервних на осi функцiй зi значеннями в нескiнченновимiрному банаховому просторi. Для таких операторiв наведено необхiднi та достатнi умови, при виконаннi яких цi оператори є дифеоморфiзмами класу $C^1$. Також наведено умови iн’єктивностi та сюр’єктивностi дослiджуваних операторiв.

[1] Lang S. Introduction in Differentiable Manifolds. Wiley, New York, 1962.

[2] Golubitsky M., Guillemin V. Stable mappings and their singularities. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1973.

[3] Слюсарчук В. Ю. Необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйних диференцiйовних вiдображень. Укр. мат. журн. 2016, 68 (4), 638–652. doi:10.1007/s11253-016-1247-9 

[4] Слюсарчук В. Ю. Оборотнiсть теореми про обернену функцiю для диференцiйовних функцiй, Буковинський мат. журн. 2014, 2 (4), 112–113.

[5] Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. Вища школа, Київ, 1974.

[6] Krasnosel’skii M. A., Burd V. Sh., and Kolesov Yu. S. Nonlinear Almost Periodic Oscillations. Nauka, Moscow, 1970. (in Russian)

[7] Daletskii Yu. L. and Krein M. G. Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces. Nauka, Moscow, 1970. (in Russian)

[8] Mitropol’skii Yu. A., Samoilenko A. M., and Kulik V. L. Investigation of the Dichotomy of Linear Systems of Differential Equations with the Help of Lyapunov Functions. Naukova Dumka, Kiev, 1990. (in Russian)

[9] Slyusarchuk V. E. Exponential dichotomy for solutions of discrete systems. Ukr. Math. J. 1983, 35 (1), 98–103 doi:10.1007/BF01093176 (translation of Ukr. Mat. Zh. 1983, 35 (1), 109–115. (in Russian))

[10] Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь, Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету, Математика. 2012, 2 (2–3), 157–163 (2012).

[11] Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. I Teil. Funktionen einer Variablen. Math. Ann., 1927, 96 119–147; Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen. II Teil. Funktionen mehrerer Variablen. Math. Ann., 1927, 96, 383–409.

[12] Muhamadiev E. On the inversion of functional operators in a space of functions bounded on the axes. Math. Notes 1972 11 (3), 169–172 doi:10.1007/BF01098519 (translation of Mat. Zametki 1972, 11 (3), 269–274 (in Russian))

[13] Slyusarchuk V. E. Invertibility of almost periodic c-continuous functional operators Mat. Sb. 1981, 116(158) 4(12), 483–501. doi:10.1070/SM1983v044n04ABEH000976 (in Russian))

[14] Fikhtengolts G. M. Course of Differential and Integral Calculus, T. 2. Nauka, Moscow, 1966. (in Russian

[15] Lyusternik L. A. and Sobolev V. I. Short course of functional analysis. Higher School, Moscow, 1982.
(in Russian)

[16] Slyusarchuk V. E. Invertibility of nonautonomous functional-differential operators. Math. USSR- Sb. 1987, 58 (1), 83–100. doi:10.1070/SM1987v058n01ABEH003093 (translation of Mat. Sb. 1986, 130(172) 1(5), 86–104.(in Russian))

[17] Slyusarchuk V.E. Necessary and sufficient conditions for invertibility of nonautonomous functional-differential operators. Mathematical Notes 1987, 42, 648–651. doi:10.1007/BF01240454 (translation of Mat. Zametki 1987, 42 (2), 262–267. (in Russian))

[18] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for the invertibility of uniformly c-continuous functional-differential operators. Ukr. Math. J. 1989, 41 (2), 180–183. doi:10.1007/BF01060384 (translation of Ukr. Mat. Zh. 1989, 41 (2), 201–205. (in Russian))

[19] Trubnikov Yu. V. and Perov A. I. Differential Equations with Monotone Nonlinearities. Nauka i Tekhnika, Minsk, 1986. (in Russian)

[20] Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati. Annali Mat. pura ed. appl. 1955, 39, (2), 97–119.

[21] Reissig R., Sansone G., and Conti R. Qualitative Theorie Nichtlinear Differentialgleichungen. Edizioni Cremonese, Roma, 1963.

[22] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and almost-periodic solutions of nonlinear differential equations. Acta Applicandae Mathematicae 2001, 65, (1-3), 333–341. doi:10.1023/A:1010687922737

[23] Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. Укр. мат. журн. 2009, 61, (11), 1541–1556. doi:10.1007/s11253- 010-0314-x

[24] Slyusarchuk V. E. The study of nonlinear almost periodic differential equations without recourse to the H-classes of these equations. Sb. Math. 2014, 205 (6), 892–911. doi:10.4213/sm8188

[25] Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of a bounded
solution of the equation dx(t) dt = f(x(t) + h1(t)) + h2(t). Sb. Math. 2017, 208 (2), 255–268. doi:10.1070/SM8684