Iстотно нелiнiйнi неавтономнi диференцiальнi рiвняння почали виникати на практицi з другої половини дев’ятнадцятого столiття при дослiдженнi реальних фiзичних процесiв атомної i ядерної фiзики, а також, астофiзики. У роботi розглядається диференцiале рiвняня, яке мiстить у правiй частинi добуток правильно та швидко змiнних нелiнiйностей вiд невiдомої функцiї та її похiдної першого порядку. Окремi випадки таких рiвнянь виникають, насамперед, у теорiї горiння та теорiї плазми. Першi важливi результати щодо асимптотичної поведiнки розв’язкiв таких рiвнянь було отримано для диференцiального рiвняння другого порядку, яке у правiй частинi мiстило добуток степеневої та експоненцiальної нелiнiйностей. Для загального випадку таких рiвнянь результатiв ранiше отримано не було. У зв’язку з цим, дослiдження асимптотичної поведiнки розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять добуток правильно та швидко змiнних нелiнiйностей при прямуваннi аргументу або до нуля, або до нескiнченностi, є актуальним не лише з теоретичної, а й з практичної точки зору. У данiй роботi дослiджуються асимптотичнi зображення, а також необхiднi i достатнi умови iснування $P_{\omega}(Y_0,Y_1,\pm\infty)$-розв'язків такого рiвняння. Цей клас розв’язкiв є одним з найскладнiших для дослiдження за рахунок того, що, зважаючи на апрiорнi властивотсi функцiй цього класу, їх похiдна другого порядку у явному виглядi не виражається через похiдну першого порядку. Результати, отриманi у цiй статтi доповнюють отриманi ранiше результати для $P_{\omega}(Y_0,Y_1,\pm\infty)$-розв'язків дослiджуваного рiвняння щодо достатнiх умов їх iснування та кiлькостi.

[1] Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge university press, Cambridge, 1987.
[2] Chepok O.O. Asymptotic representations of solutions with slowly varying derivatives of the second order differential equations with rapidly and regularly varying nonlinearities. Research in Mathematics and Mechanics. 2018, 23 2(32), 108–117. doi:10.18524/2519-206x.2018.2(32).149708 (in Ukrainian)
[3] Evtukhov V. M. Asymptotic representations of solutions of non-autonomous ordinary differential equations: dis. Dr. Phys.-Math. Sciences: [spec.] 01.01.02 « Differential equations ». Odessa nat. University named after I.I. Mechnikov. Odessa, 1997.
[4] Evtukhov V. M., Chernikova A. G. On the asymptotics of solutions of second-order ordinary differential equations with rapidly varying nonlinearities. Ukr. Math. journal. 2019,71 (1), 73–91. (in Russian)
[5] Evtukhov V.M., Drik N.G. Asimptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differention equation. Georgean mathematical journal. 1996, 3 (2), 123–151
[6] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Asymptotic representation of solutions of nonautonomous ordinary differential equations with correctly varying nonlinearities. Different. equations. 2011,47 (5), 628 650(in Russian)
[7] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Conditions for the existence of solutions disappearing at a singular point in real nonautonomous systems of quasilinear differential equations. Ukr. Math. journal. 2010, 62 (1), 52–80. ISSN 1027-3190.(in Russian)
[8] Maric V. Regular Variation and differential equations. Springer (Lecture notes in mathematics, 1726).2000.
[9] Seneta E. Regularly varying functions. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 1976, 508. doi:10.1007/BFb0079658