У дійсному гільбертовому просторі $H$ розглянуто таку сингулярно збурену задачу Коші

$\left\{\begin{array}{lcl}εu''_{εδ}(t)+u'_{εδ}(t)+Au_{εδ}(t)+B(u''_{εδ}(t))=f(t),  t∈(0,T), \\ u_{εδ}(0)=u_0,   u'_{εδ}(0)=u_1,\end{array}\right.$                                 $(P_{εδ})$

де $u_{0}, u_1\in H, f: [0,T] \to H$ и $\varepsilon, \delta$ - малі параметри. Досліджено поведінку розв'язків $u_{\varepsilon\delta}$ задачи ($P_{\varepsilon \delta}$) в у двох випадках:

 $(i)$ $\varepsilon\to 0$ и $\delta \geq \delta_0>0 $, відносно розв'язків такої незбуреної задачі:

$\left\{\begin{array}{lcl}δl'_{δ}(t)+Al_{δ}(t)+B(l_{δ}(t))=f(t),  t∈(0,T), \\ l_{δ}(0)=u_0;\end{array}\right.$                                                          $(P_δ)$ 

$(ii)$ $\varepsilon\to 0$ и $\delta \to 0$, відносно розв'язків незбуреної задачі:

$Av(t)+B(v(t))=f(t), t∈[0,T),$                                                                               $(P_0)$ 

Задача ($P_{\varepsilon \delta}$) є абстрактною моделлю сингулярно збурених задач гіперболічно-параболічного типу у випадку $(i)$ і гіперболічно-параболічно-еліптичного типу у випадку $(ii)$. Подібні задачі виникають у різноманітних областях науки і техніки.

На відміну від інших методів, даний метод грунтується на двох ключових позиціях. По-перше, одержано формулу, яка зв'язує розв'язок задачі Коші для абстрактного лінійного диференціального рівняння другого порядку з відповідним розв'язком задачі для рівняння першого порядку. По-друге, отримано  $it$ апріорні оцінки розв'язків, які є рівномірними щодо малого параметра. Крім того, досліджено задачу $(P_{\varepsilon\delta})$ для ширшого класу функцій, а саме $f \in W^{1,p}(0,T;H).$ Також встановлено швидкість збіжності розв'язком, яка залежить від $ p,$ при $\varepsilon \to 0$ и $\delta\to 0.$

[1] V. Barbu, Nonlinear Differential Equations of Monotone Types in Banach Spaces, Springer-Verlag, New York, 2010.
[2] K. J. Engel, On singular perturbations of second order Cauchy problems, Pacific J. Math., 152(1992), no. 1, 79-91.
[3] H. O. Fattorini, The hyperbolic singular perturbation problem: an operator approach, J. Differential Equations, 70(1987), no. 1, 1-41.
[4] M. Ghisi and M. Gobbino Global-in-time uniform convergence for linear M.hyperbolic-parabolic singular perturbations, Acta Math. Sinica (English Series), 22(2006), no. 4, 1161-1170.
[5] B. Najman, Time singular limit of semilinear wave equations with damping, J. Math. Anal. Appl., 174, (1993), 95–117.
[6] A. Perjan, Singularly perturbed boundary value problems for evolution differential equations, D.Sc. thesis, Moldova State University, 2008.
[7] A. Perjan, Linear singular perturbations of hyperbolic-parabolic type, Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat., 42(2003), no. 2, 95–112.
[8] A. Perjan and G. Rusu, Convergence estimates for abstract second-order singularly perturbed Cauchy problems with Lipschitz nonlinearities, Asymptot. Anal. 97(2016), no. 3-4, 337–349.
[9] A. Perjan and G. Rusu, Convergence estimates for abstract second order differential equations with two small parameters and monotone nonlinearities, Topol. Methods Nonlinear Anal., 54(2019), no. 2B, 1093–1110.