Нехай $f$ - ціла функція, $f(0)=1$, $(\lambda_n)$ - послідовність її нулів, $\Omega=\{|\lambda_n|:n\in\mathbb N\}$ і $F(z)=zf'(z)/f(z)$, $z=re^{i\varphi}$. Ціла функція $f$ називається функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких $\rho\in (0,+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$ і $2\pi$-періодичної $\rho$-тригонометрично опуклої функції $h(\varphi)\not\equiv {-\infty}$ існує множина $U\subset\Bbb C$, яка міститься в об'єднанні кругів із скінченною сумою радіусів така, що $\log |f(z)|=|z|^\rho h(\varphi)+o(|z|^{\rho_1})$, $U\not\ni z=re^{i\varphi}\to\infty$. В роботі доведено, що для того щоб ціла функція $f$ порядку $\rho\in (0,+\infty)$ з нулями на скінченній системі променів $\{z: \arg z=\psi_{j}\}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$, $0\le\psi_1<\psi_2<\ldots<\psi_m<2\pi$, була функцією покращеного регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб для деяких $\rho_2\in (0,\rho)$, $k_0\in\mathbb Z$ і кожного $k\in\{k_0,k_0+1,\ldots,k_0+m-1\}$, виконувалось

$ c_k(r,F) = \frac {1}{2π} \int_0^{2π} e^{-ikφ} F(re^{iφ})dφ = d_kr^ρ + o(r^{ρ_2}), r→+∞, r∉Ω, d_k∈\mathbb{C}$.

Це доповнює результати А. Гольдберга, М. Содіна, М. Строчика, М. Коренкова та Я. Васильківа про функції цілком регулярного зростання.

[1] Gol'dberg A.A. B.Ya. Levin is a creator of the theory of entire functions of completely regular growth. Mat. Fiz., Anal., Geom. 1994, 1 (2), 186-192. (in Russian)

[2]  Gol'dberg A.A., Korenkov N.E. Asymptotic behavior of logarithmic derivative of entire function of completely regular growth. Sib. Math. J. 1980, 21 (3), 363-375. doi:10.1007/BF00968180 (translation of Sib. Mat. Zh. 1980, 21 (3), 63-79. (in Russian))

[3] Gol'dberg A.A., Levin B.Ya., Ostrovskii I.V. Entire and meromorphic functions. In: VINITI Series in Contemporary Problems of Mathematics, Fundamental Trends, 85. VINITI, Moscow 1991, pp. 5-186. (in Russian)

[4] Gol'dberg A.A., Sodin M.L., Strochik N.N. Meromorphic functions of completely regular growth and their logarithmic derivatives. Sib. Math. J. 1992, 33 (1), 34-40. doi:10.1007/BF00972934 (translation of Sib. Mat. Zh. 1992, 33 (1), 44-52. (in Russian))

[5] Gol'dberg A.A., Strochik N.N. Asymptotic behavior of meromorphic functions of completely regular growth and of their logarithmic derivatives. Sib. Math. J. 1985, 26 (6), 802-809. doi:10.1007/BF00969100 (translation of Sib. Mat. Zh. 1985, 26 (6), 29-38. (in Russian))

[6] Hirnyk M.O. Subharmonic functions of improved regular growth. Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. 2009, 4, 13-18. doi:10.1007/s11253-012-0624-2 (in Ukrainian)

[7] Khats' R.V. On entire functions of improved regular growth of integer order with zeros on a finite system of rays. Mat. Stud. 2006, 26 (1), 17-24.

[8] Khats' R.V. Regularity of growth of Fourier coefficients of entire functions of improved regular growth. Ukr. Math. J. 2012, 63 (12), 1953-1960. doi:10.1007/s11253-012-0624-2 (translation of Ukr. Mat. Zh. 2011, 63 (12), 1717-1723. (in Ukrainian))

[9] Khats' R.V. Asymptotic behavior of averaging of entire functions of improved regular growth. Carpathian Math. Publ. 2013, 5 (1), 129-133. doi:10.15330/cmp.5.1.129-133

[10] Khats' R.V. Asymptotic behavior of entire functions of improved regular growth in the metric of $L^p[0, 2π]$. Carpathian Math. Publ. 2013, 5 (2), 341-344. doi:10.15330/cmp.5.2.341-344

[11] Kondratyuk A.A. Fourier series and meromorphic functions. Vyshcha shkola, Lviv, 1988. (in Russian)

[12] Levin B.Ya. Distribution of zeros of entire functions. In: Transl. Math. Monogr., 5, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1980.

[13] Vasylkiv Ya.V. Asymptotic behavior of logarithmic derivatives and logarithms of meromorphic functions of completely regular growth in the metric of $L^p[0, 2π]$. I. Mat. Stud. 1999, 12 (1), 37-58. (in Ukrainian)

[14] Vynnyts'kyi B.V., Khats' R.V. On asymptotic behavior of entire functions of noninteger order. Mat. Stud. 2004, 21 (2), 140-150. (in Ukrainian)

[15] Vynnyts'kyi B.V., Khats' R.V. On growth regularity of entire function of noninteger order with zeros on a finite system of rays. Mat. Stud. 2005, 24 (1), 31-38. (in Ukrainian)