Робота присвячена дослідженню потужності множини $P_c$ неперервних на відрізку $[0;1]$ функцій, які зберігають цифру 1 у трисимвольному самоподібному $Q_3$ - зображенні числа, що є узагальненням класичного трійкового зображення: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^{-k}\alpha_k(x) \equiv\Delta^{3}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots}$, де $\alpha_n(x) \in A_3\equiv\{0,1,2\}$. Всі функції класу $P_c$ мають наступний вигляд:

$y = f(x) = f(\Delta^{Q_3}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_n(x) \ldots}) = \Delta^{Q_3}_{γ_1 γ_2 \ldots γ_n \ldots},$ де $a_n ∈ A_3, γ_n ∈ A_3,$

$x = \Delta^{Q_3}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_n(x) \ldots} ≡ β_{\alpha_1(x)} + \sum\limits_{k=2}^∞[β_{\alpha_k(x)}\prod\limits_{j =1}^{k-1} q_{\alpha_j(x)}]$

і при цьому $\gamma_n= \gamma_n(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_n(x))$, причому $\gamma_n =1$ тоді і тільки тоді, коли $\alpha_n(x) =1$.

Встановлено, що множина $P_c$ є континуальною. Отримано аналітичний вираз функцій класу $P_c$, вивчено варіаційні та інтегральні їхні властивості.

[1] Pratsiovytyi M. Fractal approach to investigations of singular distributions, National Pedagogical Dragomanov University, Kyiv, 1998. (in Ukrainian)

[2] Turbin A.F., Pratsiovytyi M.V. Fractal sets, functions and distributions, Naukova Dumka, Kyiv, 1992. (in Russian)

[3] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in terms of $Q$-representation. Int. J. of Math. Anal. 2013, 7(64), 3155-3169. doi:10.12988/ijma.2013.311278

[4] Zamriy I.V., Pratsiovytyi M.V. Singularity of the digit inversor in $Q_3$-representation of the fractional part of a real number, its fractal and integral properties. Nonlinear oscil. 2015, 18(1), 55-70. (in Ukrainian)

[5] Pratsiovytyi M.V., Zamriy I.V. Inversor of digits of $Q_3$-representation for fractional part of real number as a solution of the system of three functional equations. Naukovyi Chasopys NPU im. M.P. Dragomanova. Ser. 1. Phizyko-matematychni Nauky 2013, 15, 156-167. (in Ukrainian)

[6] Pratsiovytyi M.V., Zamriy I.V. Continuous functions preserving digit 1 $Q_3$-representation of a number.Bukovinian Math. J. 2015, 3(3-4), 142-159. (in Ukrainian)

[7] Pratsiovytyi M.V., Kalashnikov A.V. On One Class of Continuous Functions with Complicated Local Structure, Most of which are Singular or Nondifferentiable. Trudy IPMM NAN Ukrainy 2011, 23, 179-189. (in Ukrainian)

[8] Pratsiovytyi M.V., Kalashnikov A.V. Self-Affine Singular and Nowhere Monotone Functions Related to the $Q$-Representation of Real Numbers. Ukr. Math. J. 2013, 65(3), 405-417. (in Ukrainian)

[9] Pratsiovytyi M. Distributions of random variables with independent $Q$-symbols, Asymptotic and applied problems in the theory of random evolutions 1990, 92-101. (in Russian)