Дослiджується задача оптимального керування системою, що описується задачею з косою похiдною та iнтегральною умовою за часовою змiнною для параболiчного рiвняння другого порядку. Розглянуто випадки внутрiшнього, стартового i межового керування. Критерiй якостi задається сумою об’ємних та поверхневих iнтегралiв. За допомогою принципу максимуму i апрiорних оцiнок встановлено iснування i єдинiсть розв’язку нелокальної параболiчної крайової задачi з виродженням. Коефiцiєнти параболiчного рiвняння i крайової умови допускають степеневi особливостi довiльного порядку за будь-якими змiнними на деякiй множинi точок. Знайдено оцiнки розв’язку нелокальної крайової задачi та його похiдних в гельдерових просторах зi степеневою вагою. Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування оптимального розв’язку системи, що описується нелокальною крайовою задачею для параболiчного рiвняння з виродженням.

[1] Lyons J.-L. Optimal control of systems described by partial differential equations. World, Moscow, 1972. (in Russian)

[2] Bermudez A. Some applications of optimal control theory of distributed systems. Control, optimisation and calculus of variations. 2002, 8, 195-218. doi : https://doi.org/10.1051/cocv:2002057

[3] Casas E., Vexler B., Zuazua E. Sparse initial data identification for parabolic PDE and its finite element approximations. Mathematical Control and Related Fields. 2015, 5 (3), 377-399. doi: 10.3934/mcrf.2015.5.377

[4] Wei Gong, Michael Hinze, Zhaojie Zhou. A finite element method for Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs. 2014.

[5] Hömberg D., Krumbiegel K., Rehberg J. Optimal Control of a Parabolic Equation with Dynamic Boundary Condition. Applied Mathematics & Optimization 2013, 67 (1), 3-31.

[6] Zuliang Lu. Optimal control problem for a quasilinear parabolic equation with controls in the coefficients and with state constraints. Electronic Journal of Differential Equations 2017, 72, 1-22.

[7] Bushuev I. V. On a class of optimal control problems for parabolic equations. Siberian Mathematical Journal 1994, 35 (5), 887-892.

[8] Gorbonos S.O., Kogut P.I. On pathological solutions to an optimal boundary control problem for linear parabolic equation with continuous coefficients. Кибернетика и вычислительная техника 2014, 176, 5-18.

[9] Pukalskyi I. D. The Green's function of a parabolic boundary value problem and an optimization problem. Ukrainian Mathematical Journal, Kyiv, 2000, 52 (4), 567-571. (in Ukrainian)

[10] Pukalskyi I. D., Matiychuk M.I. On the applications of Green functions of parabolic boundary value problems to optimal control problems. 1985.

[11] Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1964.

[12] Matiychuk M.I. Parabolic and elliptic problems with singularities. Prut, Chernivtsi, 2003.

[13] Pukalskyi I. D. The boundary value problems for unevenly parabolic and elliptic equations with degeneration and singularities. Chernivtsi, 2008.

[14] Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural'tseva N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. 1967.

[15] Pukalskyi I. D. A parabolic boundary-value problem and a problem of optimal control. Journal of mathematical sciences 2011, 174 (2), 159-168. doi: 10.1007/s10958-011-0287-9