Деякi аспекти ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та асоцiйованих з ними локально гомеоморфних метричних просторiв

Банах  Тарас  Онуфрійович; Прикарпатський  Анатолій Карольович

doi:ttps://doi.org/10.31861/bmj2018.03.008

Банах Тарас Онуфрійович ¹ , Прикарпатський Анатолій Карольович ^2,3

¹ Кафедра алгебри, топології та основ математики, Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львів, 79000, Україна

² Кафедри економічної кібернетики, Дрогобицький державний педагогiчний унiверситет iм. Iвана Франка, Дрогобич, 82100, Україна

³ Унiверситет гiрництва та металургiї, Кракiв, 30-059, Польща

DOI ttps://doi.org/10.31861/bmj2018.03.008

Ключові слова: гамiльтоновi системи, лагранжевi многовиди, гомеоморфiзм, критерiй гомеоморфностi

Завантажити

Анотація

Дослiджуються орбiти повiльно збурених гамiльтонових систем та асоцiйованi з ними ергодичнi деформацiї лагранжевих многовидiв. Основнi результати базуються на пiдходi Дж. Мазера [18, 19] до побудови гомологiй iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують деякi лагранжевi функцiонали, а також на елiптичнiй теорiї Громова-Саламона-Зендера-Флоєра [7, 9, 12, 20, 26] побудови iнварiантних многовидiв. В працi конструюються iнварiантнi пiдмноговиди, котрi є носiями iнварiантних ергодичних мiр та мають структуру метричних просторiв, що допускають локально гомеоморфнi вiдображення. Дослiджується проблема конструювання ефективних критерiїв їх глобальної гомеоморфностi, сформульованої проф. А.М. Самойленком при дослiдженнi ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та їх адiабатичних iнварiантiв. Доведено, що вiдображення $f:X→Y$ з лiнiйно зв’язного гаусдорфового простору $X$ в однозв’язний (зокрема, стягуваний) простiр $Y$ є гомеоморфiзмом тодi i лише тодi, коли $f$ локальним гомеоморфним i прообраз $f^{-1}(y)$ кожної точки $y∈Y$ є непорожньою компактною пiдмножиною в $X$.

Список використаних джерел

Abraham R., J. Marsden J. Foundations of Mechanics. Commings, USA, 1978, 806p.

Aebischer B., Borer M. et al. Symplectic geometry: Introductory course. - Basel: Birkhauses Verlag, Basel, 1992. - P.79-165.

Arnold V.I. A note on Weierstrass' auxiliary theorem // Functional Analysis and Its Applications. -1967. -1, N3. -P. 173-179.

https://doi.org/10.1007/BF01076901

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М: Наука, 1989. - 408 C.

Banakh I., Banakh T., Plichko A., Prykarpatsky A., On local convexity of nonlinear mappings between Banach spaces // Cent. Eur. J. Math. - 2012. -10, N6. - P. 2264-2271.

https://doi.org/10.2478/s11533-012-0101-z

R.E. Edwards R.E., Functional analysis . - New York: Holt, Rinehart and Winston Publ., 1965. - 1071 P.

Eliashberg Y., Givental A., Hofer H.. Introduction to Symplectic Field Theory, In: Alon N., Bourgain J., Connes A., Gromov M., Milman V. (eds) Visions in Mathematics. Modern Birkhauser Classics. - Basel: Birkhauser, 2000. - P.560-673.

https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0425-3_4

Эрве M. Функции многих переменных. - М.: Мир, 1985. - 164 C.

Floer A. Morse theory for Lagrangian intersections // J. Diﬀ. Geom. - 1988. - 28 - P.513-547.

https://doi.org/10.4310/jdg/1214442477

Halmosh P.R. Lectures on the ergodic theory. - Tokio: Math. Soc. of Japan Publ., 1956. - 147 P.

A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambdidge Univ. Press, 2002.

Hofer H. Lusternik-Schnirelman theory for Lagrangian intersections // Ann. Inst. Henri Poincare. -1968. - 5. - P. 456-499.

https://doi.org/10.1016/S0294-1449(16)30339-0

Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1977. -740 C.

Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: Факториал, 1999. - 767 C.

Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. - М.: Наука, 1980. - 383 C.

Kryloﬀ N.M., Bogoliubov N.N. La theorie generale de la mesure et son application 'a l'etude des systemes dynamiques de la mechanique nonlineaire.-Ann.Math.-1937.-II,N38.-P.65-113.

https://doi.org/10.2307/1968511

Mane R. On the minimizing measures of Lagrangian dynamical systems. -1992. - Nonlinearity. -5. - P. 623-638.

https://doi.org/10.1088/0951-7715/5/3/001

Mather J.N., Action minimizing measures for positive deﬁnite Lagrangian systems. - Math.Zeitschr.. -1991. -207. -P. 169-207.

https://doi.org/10.1007/BF02571383

Mather J. Variational construction of connecting orbits. -Ann.Inst.Fourier, Grenoble. -1993. -43, N5. -P. 1349-1386.

https://doi.org/10.5802/aif.1377

McDuﬀ D., Elliptic methods in symplectic geometry. -Bull. AMS. -1990. -23. - P. 311-358.

https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1990-15928-2

Немыцкий В.В. Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1949. - 550 C.

Prykarpatsky A.K. Symplectic ﬁeld theory approach to studing ergodic measures related with nonautonomous Hamiltonian systems. -Univ. Iagellonicae Acta Math. -2004. - P. 123-138

Palais R.S. Natural operations on diﬀerential forms. - Trans. Amer. Math. Soc.. -1959. -92. - P. 125-141.

https://doi.org/10.2307/1993171

Prykarpats'kyi Ya.A. Symplectic approach to constructing ergodic measures. - Ukrainian MathematicalJournal.-2006.-58,N5.-P.763- -778.

https://doi.org/10.1007/s11253-006-0100-y

Prykarpats'kyi Ya.A. Mel'nikov-Samoilenko adiabatic stability problem. - Ukrainian Mathematical Journal. -2006. -58, N6. - P. 887-903.

https://doi.org/10.1007/s11253-006-0111-8

Salamon D., Zehnder E. Morse theory for periodic solutions of Hamiltonian systems and the Maslov index. - Comm. Pure Appl. Math. - 1992. -45. -P. 1303-1360.

https://doi.org/10.1002/cpa.3160451004

Samoilenko A.M. Elements of the Mathematical Theory of Multi-Frequency Oscillations, (Mathematics and its Applications). - Amsterdam: Kluwer Publisher, 1991. -325 P.

https://doi.org/10.1007/978-94-011-3520-7

Samoilenko A.M., Prykarpats'kyi A.K., Samoilenko V.H. Lyapunov-Schmidt approach to studying homoclinic splitting in weakly perturbed Lagrangian and Hamiltonian systems. - Ukrainian Mathematical Journal. -2003. -55, N1. - P. 82-92.

https://doi.org/10.1023/A:1025072619144

Завантажити

Цитувати

ACS Style: Банах , Т.О.; Прикарпатський , А.К. Деякi аспекти ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та асоцiйованих з ними локально гомеоморфних метричних просторiв. Буковинський математичний журнал. 2019, 6 https://doi.org/ttps://doi.org/10.31861/bmj2018.03.008
AMA Style: Банах ТО, Прикарпатський АК. Деякi аспекти ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та асоцiйованих з ними локально гомеоморфних метричних просторiв. Буковинський математичний журнал. 2019; 6(3-4). https://doi.org/ttps://doi.org/10.31861/bmj2018.03.008
Chicago/Turabian Style: Тарас Онуфрійович Банах , Анатолій Карольович Прикарпатський . 2019. "Деякi аспекти ергодичних деформацiй нелiнiйних гамiльтонових систем та асоцiйованих з ними локально гомеоморфних метричних просторiв". Буковинський математичний журнал. 6 вип. 3-4. https://doi.org/ttps://doi.org/10.31861/bmj2018.03.008

Експортувати

BibTex EndNote RIS