Вивчається напiвгрупа $\mathbb{IN}_∞$ усiх часткових коскiнченних iзометрiй множини натуральних чисел. Ми описуємо вiдношення Ґрiна на напiвгрупi $\mathbb{IN}_∞$, її в’язку та доводимо, що $\mathbb{IN}_∞$ — проста $E$-унiтарна $F$-iнверсна напiвгрупа. Описана найменша групова конгруенцiя $\mathfrak{C}_{mg}$ на напiвгрупi $\mathbb{IN}_∞$ та доведено, що фактор-напiвгрупа $\mathbb{IN}_∞$ \ $\mathfrak{C}_{mg}$ iзоморфна адитивнiй групi цiлих чисел. Наведено приклад конгруенцiї на напiвгрупi $\mathbb{IN}_∞$, яка не є груповою. Також доведено, що конгруенцiя на  $\mathbb{IN}_∞$ є груповою тодi i лише тодi, коли її звуження на довiльну пiднапiгрупу $S$ в $\mathbb{IN}_∞$, яка iзоморфна бiциклiчнiй напiвгрупi, є груповою конгруенцiєю на $S$.

[1] Bezuschak, O.O. (2008). Grign's relation to the inverted half-group of partially defined finite-dimensional isometries of a discrete line. Newsletter of the Kiev University. Seriya fiziko-matematicheskaya, 1, 12- 16.

[2] Wagner, V.V. (1952). Generalized groups. Reports of the USSR Academy of Sciences, 84, 1119-1122.

 [3] Gutyk, O., Savchuk, A. (2017). About the half-group $ID_∞$. Newsstand of the Lviv University. Serya Mechanical and Mathematical, 83, 5-19.

[4] Andersen, O. (1952). Ein Bericht uber die Struktur Abstrakter Halbgruppen. PhD thesis. Hamburg,

[5] Anderson, L.W., Hunter, R.P., & Koch, R.J. (1965). Some results on stability in semigroups. Transactions of the American Mathematical Society, 117, 521-529. DOI: 10.1090/S0002-9947-1965-0171869-7.

[6]  Bezushchak, O. (2004). On growth of the inverse semigroup of partially defined co–finite automorphisms of integers. Algebra and Discrete Mathematics, 2, 45–55.

[7] Clifford, A. H., & Preston, G. B. (1961, 1972). The algebraic theory of semigroups. Vol 1 and 2. Providence, RI: American Mathematical Society.

[8] Gutik, O. & Repovš , D. (2011). Topological monoids of monotonic, injective partial selfmaps of $\mathbb{N}$ having a cofinite domain and image. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 48 (3), 342-353.DOI:10.1556/SScMath.48.2011.3.1176

[9] Lawson, M. (1998). Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. Singapore: World Scientific.

[10] McFadden, R., & O'Carroll, L. (1971). $F$-inverse semigroups. Proceedings of the London Mathematical Society, Series III, 22 (4), 652-666. DOI:10.1112/plms/s3-22.4.652

[11] Petrich, M. (1984). Inverse semigroups. New York, NY: John Wiley & Sons.