Для топологiчних просторiв X,Y i точки x_0 \in X вiдображення f:X-Y називається C_{x_0}-неперервним, якщо для кожної неперервної кривої w:[0,1]-X, у якої w(0)=x_0 композицiя f*w неперервна в точцi 0. Показано, що для топологiчного векторного простору X i топологiчного простору Y вiдображення f:X-Y буде C_{x_0} -неперервним тодi i тiльки тодi, коли воно є секвенцiально неперервним у точцi x_0. Наведено приклади топологiчних векторних просторiв, для яких з C_{x_0}-неперервностi не випливає звичайна неперервнiсть в точцi x_0. Доведено аналог теореми про промiжне значення для секвенцiально неперервних функцiй f:X-Y.

Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 752с.

Маслюченко В.К. Лекцiї з функцiонального аналiзу. Ч.1. Метричнi i нормованi простори. – Чернiвцi: ЧНУ Рута, 2010. – 184с.

Baire R. Sur les fonctions de variables re´ elles // Ann. Mat. Pura Appl., ser.3. – 1899. – 3. – P. 1-123.

Young W., Young G. Discontinuous functions continuouswithrespecttoeverystraightline//Quart. J. Pure Appl Math. – 1909. – 41. – P. 87-93.

Rosenthal A. On the continuity of functions of several variables // Math. Z. – 1955. – 63. – P. 31–38.

Ciesielski K., Glatzer T.Functionscontinuouson twice differentiable curves, discontinuous on large sets // Real Anal. Exch. – 2012. – 37, №2. – P. 353–361.

Ciesielski K., Glatzer T.SetsofDiscontinuitiesof Linearly Continuous Functions // Real Anal. Exch. – 2013. – 38, №2. – P. 337–389.

Ciesielski K., Glatzer T. Sets of discontinuities for functions continuous on flats // Real Anal. Exch. – 2014. – 39, №1. – P. 117–138.

Александров П.С. Введение в теорию множествиобщуютопологию.–М.:Наука,1977.–368с.

Маслюченко В.К. Першi типи топологiчних векторних просторiв. – Чернiвцi: Рута, 2002. – 72с.

Маслюченко В.К. Лiнiйнi неперервнi оператори. – Чернiвцi: Рута, 2002. – 72с.