Робота присвячена вивченню класу неперервних на вiдрiзку $[0;1]$ функцiй, якi зберiгають цифру 1 у трисимвольному $Q_3$ - зображеннi числа, що є узагальненням класичного трiйкового зображення: $x = \sum_{k=1}^∞ 3^{-k} a_k(x) ≡ \Delta_{α_1α_2...α_n...}^3,$ де $a_n(x) ∈ A_3 ≡ \{0,1,2\}.$ А саме: функцiям виду

$f(\Delta_{α_1α_2...α_n...}^{Q_3}) = \Delta_{γ_1γ_2...γ_n...}^{Q_3},$ де $α_n, γ_n ∈ A_3,$

$\Delta_{α_1α_2...α_n...}^{Q_3} ≡ β_{α_1(x)} + \sum_{k=2}^∞  [   β_{α_k(x)} \prod_{j=1}^{k-1} q_{α_j(x)}   ]$

i при цьому $γ_n = γ_n (α_1(x),α_2(x),...,α_n(x)),$ але $γ_n = 1$ тодi i тiльки тодi, коли $α_n = 1.$

[1] Albeverio S., Baranovskyi O., Kondratiev Yu., Pratsiovytyi M. On one class of functions related to Ostrogradsky series and containing singular and nowhere monotonic functions // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико- математичнi науки. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. — 2013. — № 15. — С. 35-55.

[2] Billingsley P. The singular function on bold play // Am. Sci. — 1983. — 71. — P. 392-397.

[3] Kinney J. R. Note on singular function of Minkowski. — Proc. Amer. Math. Soc., Volume 11, 1960, — pp. 788-794.

[4] Peter R. Massopust. Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets. — Academic Press; 1 edition (January 18, 1995), 383 p.

[5] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in terms of $Q$-representation // Int. Journal of Math. Analysis, Vol.7, 2013. — №64. — P.3155 - 3169.

[6] Pratsovytyi M., Makarchuk O., Skrypnyk S. Rational and algebraic $Q_2$ -representation of real numbers // Šiauliai Math. Semin. — 2015. — Vol. 10 (18). — P. 199-211.

[7] Salem R. On some singular monotonic function which are strictly increasing // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. — Vol.53, no.3. — P. 427-439.

[8] Schweiger F. Ergodic theory of fibred systems and metric number theory. — Oxford: Clarendon Press, 1995. — 320 p.

[9] Takacs L. An increasing continuous singular function // The Amer. Math. Monthly. — 1978. — no. 85. — P. 35-37.

[10] Zamfirescu T. Most monotone functions are singular // Amer. Math. Mon. — 1981. — Vol. 88. — P. 47-49.

[11]  Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Ряди Остроградського-Серпiнського- Пiрса та їхнi застосування. — К. Наукова думка, 2013. — 288 с.

[12] Gelfond A. O. On one general property of number systems, Izv. of the USSR Academy of Sciences. Ser. matem, 1959, vol. 23, issue 6, 809-814.

[13] Замрiй I. В., Працьовитий М. В. Сингулярнiсть iнверсора цифр $Q_3$ - зображення дробової частини дiйсного числа, його фрактальнi та iнтегральнi властивостi // Нелiнiйнi коливання. Том 18, № 1. — Iнститут математики НАН України. — 2015 р. — C. 55-70.

[14] Калашнiков А. В., Працьовитий М. В. Сингулярнiсть функцiй однопараметричного класу, який мiстить функцiю Мiнковського // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — К.: НПУ iм. М. П. Драгоманова. — 2011. — №12. — P. 59-65.

[15] Katz M. Statistical independence in probability theory, analysis and number theory. - Moscow: Izd. foreign lit. 1963. - 156 p.

[16] Климчук С. О., Макарчук О. П., Працьовитий М. В. Частота цифри у зображеннi числа i його асимптотичне середнє значення цифр // Укр. мат. журн. — 2014. — №3. — С. 302-310.

[17]  Колмогоров A. M., Фомiн C. B. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. — K.: Вища школа, 1974. — 456 с.

[18] Postnikov A. G. Probabilistic theory of numbers. - M.: Znanie, 1974. - 62 p.

[19] Працьовитий М. В. Розподiли сум випадкових степеневих рядiв // Доп. НАН України. — 1996. — №5. — С. 32-37.

[20] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. — 296 с.

[21] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. — 2011. — № 12. — С. 24-36.

[22] Працьовитий М. В., Замрiй I. В. Iнверсор цифр $Q_3$ - зображення дробової частини дiйсного числа як розв'язок системи трьох функцiональних рiвнянь // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. — 2013, № 15. — С. 156-167.

[23] Працьовитий М. В., Калашнiков А. B. Самоафiннi сингулярнi та нiде не монотоннi функцiї, пов'язанi з $Q$-зображенням дiйсних чисел // Укр. Мат. Жур. — 2013. — Т. 65, №3. — С. 405-417.

[24]  Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Про один клас неперервних функцiй зi складною локальною будовою, бiльшiсть з яких сингулярнi або недиференцiйовнi // Труды ИПММ НАН Украины, 2011. - Том 23. - С. 180-191.

[25]  Працьовитий М. В., Скрипник С. В. $Q_2$ - зображення дробової частини дiйсного числа та iнверсор його цифр // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. — 2013. — № 15. — С. 134-143.

[26] Pratsevyty N. V. One class of random variables with singular distribution // Analytical methods for studying the evolution of stochastic systems. - Kiev: Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1989. - P. 78-90.

[27] Pratsevyty N. V. Distributions of random variables with independent $Q$-symbols // Asymptotic and applied problems of random evolutions. - Kiev: Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1990. -P. 92-101.

[28] Sinai Ya. G. Automodel probability distributions // Probability theory and its applications. - 1976. - Vol. 21, №1. - P. 63-80.

[29] Turbin A. F. F., Pratsevyty N. V. Fractal sets, functions, distributions. - K.: Naukova Dumka, 1992. - 208 p.