У роботi вивчаються функцiї з фрактальними властивостями, якi визначенi у термiнах $Δ^μ$ -зображення числа з нескiнченним алфавiтом $A = \mathbb{N}$:

$(0;1] ∋ x = \sum_n (B_n - B'_n) ≡ Δ_{α_1α_2...α_n....}^μ,$

де $B_n = (1 - μ)^{α_1+α_3+...+α_{2n-1}-1}$ $μ^{α_2+α_4+...+α_{2n-2}}$,  $B'_n = (1 - μ)^{α_1+α_3+...+α_{2n-1}-1} μ^{α_2+α_4+...+α_{2n}}, (0;1) ∋ μ$ - фiксований параметр, $(α_n)$ — послiдовнiсть натуральних чисел, залежна вiд числа $x$. Це функцiї:

$f(Δ_{α_1α_2...α_n....}^μ) = Δ_{α_2α_1α_4α_3....}^μ, φ(Δ_{α_1α_2...α_n....}^μ) = Δ_{[α_1α_2][α_3α_4]....}^μ, γ(Δ_{α_1α_2...α_n....}^μ)  = Δ_{[α_1α_2][α_2α_3]....}^μ.$

[1] Albeverio S., Baranovskyi O., Kondratiev Yu., Pratsiovytyi M. On one class of function related to Osrogradsky series and containing singular and nowhere monotonic functions. // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат.науки.  2013. - № 15. - С. 35-55.

[2] Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal probability distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension // Ergod.Th. and Dynam. Sys. - 2004. - Vol. 24. - P. 1-16.

[3] Alkauskas G. Semi-regular continued fractions and an exact formula for the moments of the Minkowski question mark function // Ramanujan J. - 2011. - Vol. 25, no. 3. - Pp. 359-367.

[4] Dushistova A. A., Kan I. D., Moshchevitin N. G. Differentiability of the Minkowski Question mark function // J. Math. Anal. Appl. - 2013. - Vol. 401, no. 2. - Pp. 774-794.

[5] Minkowski H. Gesammeine Abhandlungen. - Berlin, 1911. - Vol. 2. - Pp. 50-51.

[6] Paradis J., Viader P., Bibiloni L. The derivative of Minkowski's ?(x) function // J. Math. Anal. Appl. - 2001. - Vol. 253. - Pp. 107-125.

[7] Peter R. Massopust Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets. - Academic Press; 1 edition (January 18, 1995). - 383 p.

[8] Pratsiovytyi M., Khvorostina Yu. Topological and metric properties of distributions of random variables represented by the alternating Luroth series with independent elements // Random Oper. Stoch. Equ. - 2013. - Vol. 21, no. 4. - Pp. 385-401.

[9] Pratsiovytyi M. V., Kovalenko V. M. Probability measures on fractal curves (probability distributions on the Vicsek fractal) // Random Oper. Stoch. Equ. - 2015. - Vol. 23 (3) . - Pp. 161-168.

[10] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions dened in terms of Q-representation // International Journal of Math. Analysis. - 2013. - Vol. 7, no. 61-67.- P. 3155-3169.

[11] Salem R. On some singular monotonic function which are stricly increasing // Trans. Amer. Math. Soc. - 1943. - 53. - Pp. 427-439.

[12] Zhykharyeva Yu., Pratsiovytyi M. Expansions of numbers in positive Luroth series and their applications to metric, probabilistic and fractal theories of numbers // Algebra and Discrete Mathematics. - 2012. - Vol. 14, no. 1. - Pp. 145-160.

[13] Барановський О. М., Працьовита I. М., Працьовитий М. В. Про одну функцiю, пов'язану з рядами Остроградського 1-го та 2-го видiв // Науковий часопис НПУ iменi М.П.Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2009. - № 10. - С. 40-49.

[14] Гончаренко Я. В., Лисенко I. М. Геометрiя нескiнченно-символьного $q_0^∞$-зображення дiйсних чисел та її застосування у метричнiй теорiї чисел. // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2013. - № 15. - С. 100-118.

[15] Замрiй I. В., Працьовитий М. В. Сингулярнiсть iнверсора цифр $Q_3$-зображення дробової частини дiйсного числа, його фрактальнi та iнтегральнi властивостi // Нелiнiйнi коливання. - 2015. - Том 18, № 1. - C. 55-64.

[16] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2011. - № 12. - С. 24-36.

[17] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв.  Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. - 296 c.

[18] Працьовитий М. В., Василенко Н. А. Одна сiм'я неперервних нiде не монотонних функцiй з фрактальними властивостями // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2013. - № 14. - С. 176-188.

[19] Працьовитий М. В., Iсаєва Т. М. $Δ^μ$ -зображення як узагальнення $Δ^μ$ -зображення i основа нової метричної теорiї дiйсних чисел // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.- мат. науки. - 2014. - № 16. - С. 164-186.

[20] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Сингулярнiсть функцiй однопараметричного класу, який мiстить функцiю Мiнковського // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2011. - № 12. - С. 59-65.

[21] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В., Безбородов В. К. Про один клас сингулярних функцiй, що мiстить класичну функцiю Мiнковського // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2010. - № 11. - С. 207-213.

[22] Працьовитий М. В., Климчук С. О. Лiнiйнi фрактали типу Безиковича-Егглстона // Наукoвий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2012. - № 13. - С. 80-93.

[23] Працьовитий М. В., Климчук С. О., Макарчук О. П. Чистота цифри у зображеннi числа i його асимптотичне середнє значення цифри // Укр.мат.журн. - 2014. - Том 66, № 3. - С. 302-310.

[24] Працьовитий М. В., Панасенко О. Б. Диференцiальнi i фрактальнi властивостi одного класу самоафiнних функцiй // Вiсник Львiвського унiверситету. Серiя механiко-математична. - 2009. - № 70. - С. 128-139.

[25] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Сингулярнi немонотоннi функцiї, визначенi в термiнах $Q_S^*$ -зображення аргумента // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. - 2013. - № 15. - С. 144-155.