У статті вводиться в розгляд трисимвольне марковське зображення чисел, що \\ грунтується на розкладі числа в ряд
$\mathrm{x=\alpha 1-1\sum i=0qi+\infty \sum k=1(q\alpha 1\alpha k-1\sum i=0q\alpha kik-1\prod j=1q\alpha j\alpha j+1)=\Delta \alpha 1\alpha 2...\alpha k...,\alpha k\in A=\{0,1,2\},}$
де $\|q_{ij}\|$ --- додатня стохастична матриця (матриця перехідних ймовірностей), $(q_0;q_1;q_2)$ --- додатний стохастичний вектор. Дане зображення є узагальненням класичного трійкового зображення чисел і співпадає з ним при $q_i=\frac{1}{3}=q_{ij}$ $\forall i,j\in A$. Описано тополого-метричні властивості циліндрів марковського зображення, зокрема виписано основне метричне \\ відношення довжин циліндрів попереднього і наступного рангів. Введено поняття \\ марковсько-нормального числа і доведено, що множина чисел, асимптотична частота кожної цифри $i$ яких відповідно рівна $\sum\limits_{i\in A}q_jq_{ji}$, $i,j\in A$, має повну міру Лебега.

Введена в розгляд функція (інверсор цифр), означена рівністю
$\mathrm{I(x=\Delta \alpha 1\alpha 2...\alpha n...)=\Delta [2-\alpha 1][2-\alpha 2]...[2-\alpha n]....}$
Доведено, що функція $I$ є неперервною строго спадною функцією на відрізку $[0;1]$. На основі поняття циліндричної похідної знайдено вираз похідної функції $I$ в точці. \\ Використовуючи нормальну властивість числа за його марковським зображенням і \\ отриманий вираз похідної знайдено умови, рівності похідної нулю майже в кожній точці одничного відрізка у розумінні міри Лебега, тобто умови сингулярності функції $I$.

[1] Markitan V.P. Fractal properties of sets and functions related to the Markov representation of real numbers defined by a double stochastic matrix // Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2017, 14(4), 34-48.
[2] Pratsiovytyi O.M. On a specific method of encoding real numbers and its applications // Students’ physical and mathematical sketches, 2008, 3, 57-67.
[3] Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Ya.V., Dyvliah N.V., Ratushniak S.P. Inversor of digits of Q^*_2-representative, Mat. Stud. 2021, 55, .37–43.
[4] Pratsiovytyi M.V. Fractal approach to investigation of singular probability distributions, Mykhailo Drahomanov Natl. Pedagog. Univ. Publ., Kyiv, 1998 (in Ukrainian).
[5] Pratsiovytyi M.V. Singular and fractal properties of distributions of random variables digits of polybasic representations of which a form homogeneous Markov chain, Ukr.Math.J., 2000, 52(3), (2000), 368-374.
[6] Pratsiovytyi M.V., Skrypnyk S.V. Q2-representation of fraction part of real number and inversor of its digits Nauk. Chas. Nats. Ped. Univ. im. Drahomanova, Ser. Fiz.-Mat. Nauk 2013, 15, 134–143. (in Ukrainian)
[7] Zamrii I.V., Prats’ovytyi M.V., Singularity of the digit inversor for the Q3-representation of the fractional part of a real number, its fractal and integral properties, Journal of Mathematical Sciences, 2016, 215(3), 323–340.