Як відомо, повнота за Дедекіндом є одним з основних понять дійсного аналізу, яке виникає одразу при побудові прямої дійсних чисел. Оскільки ця властивість має багато застосувань в різних ситуаціях, то природно виникають альтернативні властивості, еквівалентні до повноти за Дедекіндом. У цій статті основна увага сконцентрована на описі таких властивостей, на доведенні еквівалентності до повноти і на окремих прикладах застосувань. Зокрема, введено модифіковане означення розрізів Дедекінда, що дало змогу класифікувати їх як головні і вільні розрізи, які слугують зручними моделями раціональних і ірраціональних чисел відповідно. Розглянуто аксіоми Кантора і Архімеда і їх зв'язок з повнотою за Дедекіндом у впорядкованих полях і у впорядкованих множинах. Знайдено зв'язок між виконанням аксіоми Архімеда і наявністю зліченної всюди щільної множини у впорядкованих полях, що задовольняють аксіому Кантора.

[1] Goldrei D. Classic Set Theory – For guided independent study. Chapman & Hall, London, 1996.
[2] Landau E. Grundlagen der Analysis: das Rechnen mit ganzen, rationalen, irrationalen, komplexen Zahlen. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1930.
[3] Krapp L. Constructions of the real numbers a set theoretical approach. Oxford, 2014.
[4] Lindstrom T. An invitation to nonstandard analysis. Cambridge University Press, London, 1988.
[5] Garcia M. Filters and Ultrafilters in Real Analysis, 2012, https://arxiv.org/abs/1212.5740
[6] Bartle R., Sherbert D. Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons, USA, 1982.
[7] Tao T. Analysis I. Springer, Heidelberg, 2006.