У статті досліджуються хаотичні властивості операторів зваженого зсуву, які діють на (несепарабельному) гільбертовому просторі, що є одним із важливих об’єктів у теорії динамічних систем. Особливу увагу приділено аналізу умов, за яких такі оператори можуть бути топологічно транзитивними, гіперциклічними і часто гіперциклічними. Крім того, досліджено феномен хаосу Лі-Йорка, який передбачає існування незліченних множин точок із хаотичною поведінкою орбіт. Це дозволяє глибше зрозуміти природу динамічних систем, що характеризуються нерегулярністю і непередбачуваністю.У статті досліджуються хаотичні властивості операторів зваженого зсуву, які діють на (несепарабельному) гільбертовому просторі, що є одним із важливих об’єктів у теорії динамічних систем. Особливу увагу приділено аналізу умов, за яких такі оператори можуть бути топологічно транзитивними, гіперциклічними і часто гіперциклічними. Крім того, досліджено феномен хаосу Лі-Йорка, який передбачає існування незліченних множин точок із хаотичною поведінкою орбіт. Це дозволяє глибше зрозуміти природу динамічних систем, що характеризуються нерегулярністю і непередбачуваністю. У статті висвітлюються, як різні властивості операторів зваженого зсуву впливають на їхню динамічну поведінку, розглядаючи взаємодію між вагами оператора та структурою базового простору. Для ілюстрації запропоновано два приклади динамічних систем, які можна використовувати для моделювання поведінки цін на фінансових ринках. Перший приклад базується на простій лінійній моделі, де зміна ціни пропорційна поточному значенню. Побудована орбіта в цьому прикладі в загальному випадку не є щільною. У другому прикладі моделюється більш складна система, яка враховує залежність зміни ціни від попередніх значень, дивідендів та випадкових факторів. У цьому контексті оператор зваженого зсуву відіграє ключову роль, дозволяючи створити гіперциклічну динамічну систему, здатну адекватно відображати хаотичну поведінку цін. Застосування теорії хаосу до фінансових ринків є особливо актуальним, оскільки це дозволяє враховувати складну динаміку, нелінійність та вплив випадкових факторів на цінові зміни. Використання таких моделей може допомогти інвесторам краще розуміти природу ризиків, знаходити можливості для інвестицій та приймати більш обґрунтовані рішення в умовах невизначеності. Отримані результати мають також важливе значення для широкого спектра наукових досліджень у галузях математики, фізики та економіки, де вивчення хаотичних властивостей систем є центральним для розуміння їхньої поведінки.

[1] F. Bayart, E. Matheron, Dynamics of linear operators, Cambridge University Press, New York, 2009. https://doi.org/10.1017/CBO9780511581113
[2] T. Berm´udez, N.J. Kalton, The range of operators on von Neumann algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 2002, 130, 1447-1455. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-01-06292-X.
[3] J. Bes, A. Peris, Hereditarily hypercyclic operators, J. Func. Anal. 1999, 167, 94-112.
[4] G.D. Birkhoff, D´emonstration d’un th´eoreme´el´ementairesur≤sfonctionsenti" role="presentation" style="box-sizing: border-box; display: inline-block; line-height: 0; text-indent: 0px; text-align: left; text-transform: none; font-style: normal; font-weight: 400; font-size: 16.94px; font-size-adjust: none; letter-spacing: normal; overflow-wrap: normal; word-spacing: 0px; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; margin: 0px; padding: 1px 0px; color: rgba(0, 0, 0, 0.87); font-family: "Noto Sans", -apple-system, BlinkMacSystemFont, "Segoe UI", Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, "Helvetica Neue", sans-serif; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; orphans: 2; widows: 2; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(255, 255, 255); text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial; position: relative;">eme´el´ementairesur≤sfonctionsentieme´el´ementairesur≤sfonctionsentieres, C. R. Acad. Sci. Paris 1929, 189, 473-475.
[5] K.C. Chan and J.H. Shapiro, The cyclic behavior of translation operators on Hilbert spaces of entire functions, Indiana Univ. Math. J. 1991, 40 , 1421–1449.
[6] R.L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems Addison-Wesley, Reedwood City, 1989.
[7] K. G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot, Linear chaos, Springer-Verlag, London, 2011. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-2170-1-5
[8] Z. Novosad, Topological transitivity of translation operators in a non-separable Hilbert space. Carpathian Math. Publ. 2023, 15, 278–285. https://doi.org/10.15330/cmp.15.1.278-285.
[9] Z. Novosad, A. Zagorodnyuk, The Backward Shift and Two Infinite-Dimension Phenomena in Banach Spaces. Symmetry. 2023, 15 P. 1855. https://doi.org/10.3390/sym15101855
[10] N.H. Salas, Hypercyclic weighted shifts, Trans. Amer. Math. Soc. 1995, 347, 993-1004. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1995-1249890-6
[11] T. Worral, Financial Instruments, School of Economic and Management Studies. Keele University. Fin-40008. Session 2007/08. https://timworrall.com/fin-40008/index.htm
[12] A. Zagorodnyuk, Z. Novosad, Topological Transitivity of Shift Similar Operators on Nonseparable Hilbert Spaces Journal of Function Spaces. 2021, Article ID 306342, 7 pages. https://doi.org/10.1155/2021/9306342.