Дослідження присвячене ультрапараболічним рівнянням, які виникають в задачах, що описують азійські опціони на фінансових ринках. Клас таких рівнянь за певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. Раніше для рівнянь з цього класу було побудовано так званий фундаментальний L-розв'язок, досліджено його властивості та коректну розв'язність задачі Коші.

У цій праці сформульовано спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних на коефіцієнти таких рівнянь, за яких отримано коректну розв'язність задачі Коші у спеціальних вагових просторах, а також інтегральні зображення класичних розв'язків однорідних рівнянь у вигляді інтегралів Пуассона від функцій або узагальнених мір, якими задається початкова умова. Описано класи коректності задачі Коші.

Отримані результати можна використати у подальших дослідженнях задачі Коші та крайових задач для лінійних і квазілінійних вироджених параболічних рівнянь, а також при вивченні марковських процесів, густиною ймовірності переходу яких є ФРЗК для рівнянь, що розглядалися.

[1] Kolmogoroff A. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung). Ann.Math. 1934, 35, No.1, 116–117. – https://doi.org/10.2307/1968123
[2] Mishura Yu.S., Ralchenko K.V., Sakhno M.L., Shevchenko G.M. Stochastic processes: theory, statistics, application: textbook. 2nd Edition. Kyiv University, Kyiv, 2023 (in Ukrainian).
[3] Stanton R. Path Dependent Payoffs and Contingent Claim Valuation: Single Premium Deferred Annuities. Graduate School of Business, Stanford University 1989.
[4] Barraquand J., Pudet T. Pricing of American path-dependent contingent claims. Math. Finance 1996, 6, 17–51.
[5] Pascucci A. Free boundary and optimal stopping problems for American Asian options. Finance and Stoch. 2008, 12, 21–41. doi: 10.1007/s00780-007-0051-7
[6] Di Francesco, Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. AMRX Appl. Math. Res. Exprass 2005, 3, 77–116.
[7] Ivasyshen S.D., Layuk V.V. Cauchy problem for some degenerated parabolic equations of Kolmogorov type. Mat. Metody i Fiz.-Mekh. Polya 2007, 50 (3), 56–65 (in Ukrainian).
[8] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. Birkhäuser. Basel 2004, Ser. Operator Theory: Adv. and Appl., Vol. 152. https://doi.org./10.1007/978-3-0348-7844-9.
[9] Dron V.S., Medynskyi I.P. On fundamental solution of the Cauchy problem for ultra-parabolic equations in the Asian options models. Math. Modeling and Computing 2024, 11 (2), 593–606. https://doi.org/10.23939/mmc2024.02.593