Як відомо, класична теорія $C_{0}$-півгруп лінійних операторів є важливим інструментом для вивчення багатьох питань теорії диференціальних рівнянь у банаховому просторі, зокрема задачі Коші $C_{0}[\tau]$ відшукання розв'язку $u(t), t \in [0, \tau]$ рівняння $u'(t) = Au(t)$, що задовольняє умову $u(0) = x \in X$, де $A$ - замкнений лінійний оператор у банаховому просторі $X$. Виявляється, що одним із самих плідних методів дослідження $(n+1)$-раз $(n \in \mathds{N})$ проінтегрованої задачі Коші $C_{n+1}[\tau]: v'(t) = Av(t) + \frac{t^{n}}{n!}x, v(0) = 0$, є вивчення введених Арендтом так званих $(n+1)$-раз проінтегрованих півгруп, теорію яких у подальшому розробляли Келлерман і Гебер, Танака і Міядера, де Лаубенфелс та ін.

У цій статті основна увага сконцентрована на випадку, коли $A$ є нормальним оператором у гільбертовому просторі. Виходячи з властивостей функції ${\Phi}_n(\lambda, t) = \frac{1}{{\lambda}^{n + 1}}\left(e^{\lambda t} -
\sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{(t\lambda)^k}{k!}\right), \lambda \in \mathbb{C}$, пов'язаної певним чином з відповідною $(n+1)$-раз проінтегрованою півгрупою, та операційного числення для нормальних операторів,з допомогою зазначеної функції описано всі розв'язки задачі $C_{n+1}[\tau]$ і знайдено умови, необхідні й достатні для її коректної постановки. Більше того, установлено критерій коректності цієї задачі в термінах локалізації спектра операторп $A$.

[1] Arendt W., Mennaoui O., Keyantuo V.Local integrated semigroups: evolution with jumps of regularity. J. Math. Anal. 1994,186, 572–595.
[2] Krein S.G. Linear Differential Equations in Banach Space. Amer. Math. Soc. Providence RI, 1971.
[3] Nagel R.(Ed.).One parameter semigroups of positive operators. Lect. Notes in Math. 1986,1184, Springer-Verlag, Berlin.
[4] Gorbachuk V.M.On solutions of the (n + 1)-times integrated Cauchy problem. Mathematics and Information Technology, Chernivtsi Nat. Univ. Chernivtsi, 2023, 56–57.
[5] Privalov I.I. Introductuon into Theory of Functions of Complex Variable. Nauka, Moscow, 1984 (Russian).
[6] Plesner I. Spectral Theory of Linear Operators. Nauka, Moscow, 1965 (Russian).
[7] Dunford N., Schwartz J.T. Linear Operators, Part II: Spectral Theory. Selfadjoint Operators in Hilbert Space. Interscience, New York- London, 1963.
[8] Berezansky Yu.M., Sheftel Z.G., Us G.F. Functional Analysis, Vol. II. Inst. of Math. NASU, Kyiv, 2010.
[9] Bludova T.V., Martynenko V.S. Theory of Functions of Complex Variable. Prosvita, Kyiv, 2000 (Ukrainian).