Твірна функція — це структура, яка тісно пов’язана з числовою послідовністю, і дозволяє нам маніпулювати послідовністю як єдиною сутністю з метою її кращого розуміння. Грубо кажучи, твірні функції перетворюють проблеми про послідовності в проблеми про
функції. Вони забезпечують систематичний спосіб кодування послідовностей чисел або інших комбінаторних об’єктів, дозволяючи вишукано розв’язувати складні проблеми в різних математичних областях.

У цій статті ми розглянули ряд проблем, пов’язаних із розміщенням $n$ шахових фігур на $n\times n$ шахівниці так, щоб дві фігури не атакували одна одну, використовуючи підхід твірних функцій. Задача про розміщення $n$ королев на дошці $n\times n$ до сих пір є відкритою комбінаторною задачею, точної формули обчислення поки не відомо, лише приблизні апроксимації. Тим не менше, часто розглядаються часткові випадки, зокрема специфічні умови розміщень, інші фігури, які мають інші лінії атак і т.д.

Хоча проблема n-королев часто використовується як практичний приклад для алгоритмів, які вирішують задачі комбінаторної оптимізації; він знайшов кілька реальних застосувань, включаючи практичне планування та призначення завдань, керування комп’ютерними ресурсами та тестування схем надвеликого рівня інтеграції.

В цій статті було розглянуто спеціальний тип шахових фігур, та побудовано рекурентну формулу для обчислення кількості розміщень $k$ цих фігур на дошці розміру $n\times n$. Нами було вказано спосіб обчислення кількості розміщень цих фігур на дошці $n\times n$ з використанням твірних функцій, та продемонстровано це обчислення при $k=2$. Для цього було обчислено твірну функцію для цього часткового випадку. Потім цю твірну функцію було розкладено на прості дроби, для яких було обчислено їхні відповідні ряди. Таким чином, прирівнявши два ряди, було отримано значення кількості розміщень відповідних фігур на шахматній дошці $n\times n$.

[1] P, S.S., 2011. New decision rules for exact search in n-queens. J. Global Optim. 497–514.
[2] Kryvyi L. Discrete mathematics. 2nd edition Kyiv: Bukrek, 2017. 568 p.
[3] Dudeney H. E. "Bishops–Unguarded" and "Bishops–Guarded.". Amusements in Mathematics.
1970. Vol. 297, 298. P. 88–89.