Упродовж останніх кількох десятиліть бурхливо розвивається теорія дробового диференціювання та псевдодиференціальних операторів, які природним способом узагальнюють та розширюють поняття класичної похідної та диференціальних операцій. Причиною такого розвитку є насамперед факт тісного зв'язку псевдодиференціальних операторів і дробового диференціювання з важливими задачами аналізу й сучасної математичної фізики. З'ясувалось, що такі оператори відіграють важливу роль у теорії аналітичних крайових задач (при дослідженні індексу задачі, при зведенні на межу області і т.д.), в мікролокальному аналізі, в теорії випадкових процесів, за допомогою операторів фрактального диференціювання описуються тепло-дифузійні процеси в пористих середовищах тощо.

Існують різні підходи до узагальнення класичної похідної, реалізація яких породила різномаїття операцій дробового диференціювання та псевдодиференціювання. У зв'язку з цим виникає природна необхідність у порівняльній характеристиці цих узагальнень, яку зручно проводити крізь призму класичної форми дробового диференціювання на елементах з "достатньо  хорошими" властивостями. Крім цього, зображення тої чи іншої операції псевдодиференціювання в такій класичній формі дає змогу задіювати досить зручний апарат перетворення Фур'є для аналізу задач з цими операціями.

 У даній роботі досліджується питання про можливість зображення в просторах типу $S$ Гельфанда І.М. і Шилова Г.Є. псевдодиференціального оператора Е.Поста $a(D_x)$ в класичній формі дробового диференціювання за умови, що його символ $a(\cdot)$ є згортувачем у вихідному просторі.

[1] Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of
their applications. Minsk : Science and technology, 1987. (in Russian)
[2] Eulero L. De progressionibvs transcendentibvs, sev qvarvm termini generales algebraice dari neqvevnt
Comment. Acad. Sci. Imperialis petropolitanae. 1738, 5, 38–57.
[3] Abel N. H. Solution de quelques problemes a l’aide d’integrales defines Gesammelte math. werke. Leipzig:
Teubner. 1881, 1, 11–27.
[4] Liouville J. Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de
calcul pour resoudre ces questions J. l’Ecol Roy. Polytechn. 1832, 13 (21), 1–69.
[5] Liouville J. Memoire sur le calcul des differentielles a indices quelconques Ibid. 1832, 71–162.
[6] Liouville J. Memoire sur le theoreme des functions complementaires J. f¨ur reine und angew. Math.
1834, 11, 1–19.
[7] Liouville J. Memoire sur l’usage que l’on peut faire de la formule de Fourier, dans le calcul des differentielles
a indices quelconques Ibid. 1835, 13 (1 – 3), 219–232.
[8] Liouville J. Memoire sur l’integration des equations differentielles a indices fractionnaires Ibid. 1837,
15 (55), 58–84.
[9] Grunvald A. K. Uber "begrenzte"Derivationen und deren Anwendung Z. angew. Math. und Phys. 1867,
12, 441–480.
[10] Letnikov А. V. The theory of differentiation with arbitrary pointer Match. sb. 1868, 3, 1–68. (in Russian)
[11] Post E. L. Generalized differentiation Trans. Amer. Math. Soc. 1930, 32, 732–781.
[12] I. M. Gel’fand and G. E. Shilov Spaces of Basic and Generalized Functions. Moscow: Gos. Izd. Fiz.
Mat. Lit., 1958. (in Russian)
[13] Litovchenko V.А. Shilov systems in spaces of type S and S′. Chernivtsi : ChNU, 2019. (in Ukrainian)