Дослідження присвячене ультрапараболічним рівнянням з двома групами просторових змінних, які з'являються в задачах, що описують азійські опціони на ринку фінансових послуг. Клас цих рівнянь за виконання певних умов є узагальненням добре відомого виродженого параболічного рівняння дифузії з інерцією А.М.Колмогорова. Раніше для рівнянь з цього класу було побудовано так званий фундаментальний $L$-розв'язок. У цій роботі для таких рівнянь побудовано і досліджено класичний фундаментальний розв'язок задачі Коші. На коефіцієнти рівняння було накладено спеціальні умови Гельдера відносно просторових змінних.

[1] Barraquand J., Pudet T. Pricing of American path-dependent contingent claims. Math. Finance 1996,
6, 17–51.
[2] Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 1973,
81, 637–659.
[3] Di Francesco, Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type. AMRX
Appl. Math. Res. Exprass 2005, 3, 77–116.
[4] Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type. Birkh¨auser. Basel, 2004, Ser. Operator Theory: Adv.
and Appl., Vol. 152. doi: 10.1007/978-3-0348-7844-9.
[5] Foschi P., Pascucci A. Kolmogorov equations arising in finance: direct and inverse problem. Lecture
Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica. Universit´a degli Studi della Basilicata 2007, VI,
145–156.
[6] Frentz M., Nystr¨om K., Pascucci A., Polidoro S. Optimal regularity in the obstacle problem for
Kolmogorov operators related to American Asian options. Math. Ann. 2010, 347, 805–838. doi:
10.1007/s00208-009-0456-z
[7] Ivashyshen S.D., Layuk V.V. The fundamental solutions of the Cauchy problem for some degenerate
parabolic equations of Kolmogorov type Ukr. Mat. J. 2011, 63 (11), 1469–1500 (in Ukrainian).
[8] Ivasyshen S.D., Medyns’kyi I.P. Classical fundamental solution of the Cauchy problem for ultraparabolic
Kolmogorov-type equations with two qroups of spatial variables of degeneration. I. J. Math. Sci. 2020,
246 (2), 121–151. doi: 10.1007/s10958-020-04726-z
[9] Ivasyshen S.D., Medyns’kyi I.P. Classical fundamental solution of the Cauchy problem for ultraparabolic
Kolmogorov-type equations with two qroups of spatial variables of degeneration. II. J. Math. Sci. 2020,
247 (1), 1–23. doi: 10.1007/s10958-020-04786-z
[10] Ivasyshen S.D., Medyns’kyi I.P. On classical fundamental solutions of the Cauchy problem for
ultraparabolic Kolmogorov-type equations with two qroups of spatial variables. Mat. Metody i Fiz.-Mekh.
Polya 2016, 59 (2), 28–42 (in Ukrainian).
[11] Kolmogorov A. Zufllige Bewegungen. (Zur Theorie der Brownschen Bewegung.). Ann. of Math., II. Ser.
1934, 35, 116–117.
[12] Mishura Yu.S., Ralchenko K.V., Sakhno M.L., Shevchenko G.M. Stochastic processes: theory, statistics,
application: textbook. 2nd Edition. Kyiv University, Kyiv, 2023 (in Ukrainian).
[13] Pascucci A. Free boundary and optimal stopping problems for American Asian options. Finance and
Stoch. 2008, 12, 21–41. doi: 10.1007/s00780-007-0051-7
[14] Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov-Fokker-Planck type. Le Matematiche
1994, 49 (1), 53–105.
[15] Stanton R. Path Dependent Payoffs and Contingent Claim Valuation: Single Premium Deferred Annuities.
Unpublished manuscript, Graduate School of Business, Stanford University, 1989.