Робота присвячена дослідженню  властивостей оператору зсуву  $Q_{s}^{*}$-представлення дійсних чисел та вивченню типу розподілу послідовностей продукованих останнім. $Q_{s}^{*}$-представлення є природним узагальненням класичного s-кового і  топологічно подібне до нього. В даній роботі представлені узагальнення критеріїв нормальності чисел, що відносились як до  класичного s-кового представлення так і для $Q_{s}$-представлення.

[1] Borel E. Les probabilies denombrables et leurs applications arithmetiques. Rend. Circ. Mat. Palermo.&
App. 1909, 247–271. doi:10.1007/BF03019651
[2] Fukuyama K.The law of the iterated logarithm for discrepancies of nx. Acta Mathematica Hungarica.
& App. 2008 (118), 1, 155–170. doi:10.1007/s10474-007-6201-8
[3] Kryvoshyia R.V.On a generalization of the concept of normal numbers. Bulletin of Taras Shevchenko
National University. & App. 2021 (2), 58–62.(in Ukrainian) doi: 10.17721/1812-5409.2021/2
[4] Niven I., Zuckerman H.S. On the definition of normal numbers. Pacific J. Math, & App. 1951, 1,
103–109.
[5] Postnikov A.G. Arithmetic modeling of random processes. Proceedings of the Steklov Institute of
Mathematics. & App. 1960 (57), 3–84.
[6] Pratsiovytyi N.V.Fractal approach in the study of singular distributions. Publishing House of Mykhailo
Dragomanov State University of Ukraine, Kyiv, 1998. (in Ukrainian)
[7] Torbin G.M., Pratsiovytyi N.V. Random variables with independent Q*-symbols. Institute for
Mathematics of NASU: Random evolutions. & App. 1992, 95–104. (in Ukrainian)
[8] Veronica B.,Carton O., Ariel P. Finite-state independence. Theory Comput.Syst. & App. 2018 (62), 7,
1555–1572. doi: 10.1007/s00224-017-9821-6.