Асимптотична поведiнка розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйностями, якi є композицiями експоненцiальної та правильно змiнних функцiй. Однiєю з найактуальнiших задач сучасної якiсної теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь є вивчення нелiнiйних та, особливо, iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь . Серед робiт в цiй областi, що стосуються встановлення асимптотичних властивостей розв’язкiв, найбiльшу частину складають дослiдження рiвнянь зi степеневими нелiнiйностями та нелiнiйностями асимптотично близькими до степеневих, а також з експоненцiальними нелiнiйностями. Передумовою цих дослiджень було вивчення рiвняння Емдена–Фаулера, частковi випадки якого знаходять застосування в ядернiй фiзицi, газовiй динамiцi, механiцi рiдини, релятивiстськiй механiцi та iнших галузях природознавства. У роботi знайдено умови iснування та асимптотичнi зображення достатньо широкого класу розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Цей клас розв’язкiв був введений у роботах В. М. Євтухова для рiвнянь типу Емдена-Фаулера n-го порядку та конкретизованим для рiвняння другого порядку. Дослiджуванi диференцiальнi рiвняння мiстять нелiнiйностi, якi є композицiями експоненцiальної та правильно змiнних при прямуваннi аргументу до особливої точки функцiй. Важливою вiдмiннiстю даного класу рiвнянь є неможливiсть навiть асимптотично зобразити нелiнiйнiсть у виглядi добутку функцiй, кожна з яких залежала або тiльки вiд невiдомої функцiї, або тiльки вiд похiдної невiдомої функцiї. Клас дослiджуваних розв’язкiв мiстить правильно змiннi розв’язки таких рiвнянь. У роботi отримано асимптотичнi зображення як для розв’язкiв дослiджуваного класу, так i для їх похiдних першого порядку.

[1] Evtukhov V.M., Drik N.G. Asimptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differention equation Georgean mathematical journal 1996, Volume 3(2)
[2] Maric V. Regular Variation and differential equations. Springer (Lecture notes in mathematics, 1726), 2000
[3] Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge university press, Cambridge,1987.
[4] Evtukhov V., Chernikova A. Asymptotic Behavior of the Solutions of Ordinary Second-Order Differential
Equations with Rapidly Varying Nonlinearityes, Ukrainian Mathematical Journal.(Springer), 2018, Volume 69, Translated from Ukrains’kyi Mathematychnyi Zhurnal, 2017.
[5] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Conditions of existence of disappearing in the critical point solutions to rear nonautomouous systems of quasilinear differential equations, Ukrainian mathematical journal, 2010. (In Russian)