Задача встановлення  умов існування,  а також знаходженння асимптотичних зображень розв'язків диференціальних рівняння,  які містять у правій частині нелінійності різних типів є однією з найважливіших  задач якісної теорії диференціальних рівнянь. У даній роботі розглянуті диференціальні рівняння другого порядку, які містять у правій частині добуток правильно змінної нелінійності  від невідомої функції та швидко змінної нелінійності від похідної невідомої функції при прямуванні відповідних аргументів до нуля або нескінченності. Отримано необхідні та достатні умови існування повільно змінних $P_{\omega}(Y_0,Y_1,\pm\infty)$-розв'язків таких рівнянь. Також отримані асимптотичні зображення таких розв'язків та їх похідних першого порядку. При накладанні додаткових умов на коефіцієнти характеристичного рівняння відповідної еквівалентної системи квазілінійних диференціальних рівнянь встановлено, що таких $P_{\omega}(Y_0,Y_1,\pm\infty)$-розв'язків у рівняння існує  однопараметрична сім'я. Подібні результати були отримані раніше при розгляді рівнянь другого порядку, які містять у правій частині добуток швидко змінної функції від невідомої функції та правильно змінної функції від похідної невідомої функції при прямуванні аргументів до нуля або нескінченності. Для рівнянь, які розглядаються у даній роботі, подібні результати є новими.

[1] Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its
applications. Cambridge university press, Cambridge, 1987.
[2] Chepok O. O. Asymptotic Representations of Regularly Varying P!(Y0; Y1; 0)-Solutions of a Differential
Equation of the Second Order Containing the Product of Different Types of Nonlinearities of the
Unknown Function and its Derivative. J. Math. Sci. (N.Y.) .2023, 274 (1), 142–155. doi:10.1007/s10958-
023-06576-x. (translation of Neliniini Kolyvannya. 2022, 25(1), 133-–144. doi:10.4213/mzm9371 (in
Ukrainian))

[3] Evtukhov V. M., Chernikova A. G. On the asymptotics of solutions of second-order ordinary differential
equations with rapidly varying nonlinearities. Ukrainian Math. J. 2019,71 (1), 73–91. (in Russian)
[4] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Asymptotic Representations of Solutions of Nonautonomous Ordinary
Differential Equations with Regularly Varying Nonlinearities Differ. Equ. 2011, 47 (5), 627-649.
doi:10.1134/S001226611105003X
[5] Evtukhov V.M., Samoilenko A.M. Conditions for the existence of solutions of real nonautonomous
systems of quasilinear differential equations vanishing at a singular point. Ukrainian Math. J. 2010, 62
(1), 56–86. doi:10.1007/s11253-010-0333-7(in Russian)
[6] Maric V. Regular Variation and differential equations. Springer (Lecture notes in mathematics,
1726).2000.
[7] Seneta E. Regularly varying functions. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 1976, 508.
doi:10.1007/BFb0079658