Досліджується задача вибору оптимального керування системи, що описується параболічною задачею з інтегральною умовою за часом і обмеженими внутрішнім і стартовим керуванням. Критерій якості задається сумою об'ємних інтегралів. За допомогою фундаментального розв'язку задачі Коші для $2b$-параболічного рівняння встановлено існування, єдиність та інтегральне зображення розв'язків задачі для $2b$-параболічного рівняння з інтегральною умовою за часовою змінною. Знайдено оцінки розв'язку нелокальної задачі для $2b$-параболічного рівняння з інтегральною умовою за часом та його похідних в гельдерових просторах. Одержаний результат використано при дослідженні задачі оптимального керування. За допомогою формули Тейлора та інтегрального зображення розв'язків нелокальної задачі знайдено необхідні і достатні умови існування оптимального керування системи, що описується задачею для $2b$-параболічного рівняння з інтегральною умовою за часовою змінною.

[1] Lions J.-L. Optimal control of systems governed by partial differential equations. Mir, Moscow, 1972,
416. (in Russian)
[2] Balakrishnan V. Semigroup theory and control theory. Washington, 1965.
[3] Bermudez A. Some applications of optimal control theory of distributed systems. Control, Optimisation
and Calculus of Variations, 2002, 8, 195-218.
[4] Casas E., Vexler B., Zuazua E. Sparse initial data identification for parabolic PDE and its finite element
approximations. Mathematical Control and Related Fields, 2015, 5(3), 377-399.
[5] Gong Wei, Hinze Michael, Zhou Zhaojie. A finite element method for Dirichlet boundary control
problems governed by parabolic PDEs. Hamburger Beitrage zur Angewandten Mathematik, 2014, 21,
P. 1-21
[6] Zuliang Lu. Optimal control problem for a quasilinear parabolic equation with controls in the coefficients
and with state constraints. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2011, 32(4), 320-327.
[7] Hamberg D., Krumbiegel K., Rehberg J. Optimal control of a Parabolic Equation with Dunamic
Boundary Condition. Applied Mathematics and Optimization, 2013, 67(1), 3-31.
[8] Pukalskyi I.D. Green function of a parabolic boundary value problem and the optimization problem.
Ukrainian Mathematical Journal, 2000, 52(4), 567-571. (in Ukrainian)
[9] Pukalskyi I.D. Parabolic boundary value problem and optimal control problem. Mathematical Methods
and Physicomechanical Fields, 2009, 52(4), 34-41. (in Ukrainian)
[10] Pukalskyi I.D., Yashan B.O. One-sided boundary value problem with impulsive conditions for parabolic
equations with degeneration. Journal of Mathematical Sciences, 2021, 256, 398-415.
[11] Pukalskyi I.D., Luste I.P. Optimal control in the multipoint boundary value problem for 2b-parabolic
equations. Bukovinian Math. Journal, 10(1) 2022, 110-119.
[12] Pukalskyi I.D., Luste I.P. Boundary value problems for parabolic equations of the second order. Tutorial
Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University, Chernivtsi, 2021, 284 p. (in Ukrainian)
[13] Ivasishen S.D. Green’s matrices of general inhomogeneous boundary value problems for parabolic ones
according to I.G. Petrovsky systems. Preprint of the Institute of Mathematics of the Academy of
Sciences of the Ukrainian SSR, Kiev, 1968, 2-52. (in Russian)
[14] Matiichuk M.I. Parabolic and Elliptic Boundary-Value Problems with Singularities. Chernivtsi, Prut,
2003, 248 p.