У роботі досліджено топологічну структуру узагальнених просторів типу $ S $, властивості операцій, важливих для математичного аналізу (зсуву аргумента, множения на незалежну змінну, диференціювання), описано клас мультиплікаторів у таких просторах. Вивчено питання про квазіаналітичність (неквазіаналітичність) узагальнених просторів типу $ S $. Знайдено умову, при виконанні якої в узагальнених просторах типу $ S $ визначені, є лінійними і неперервними псевдодиференціальні оператори, побудовані за певними символами, такі оператори розуміємо як конструктивну реалізацію операторів $\varphi(i\frac{d}{dx})$ у таких просторах.

Наведені результати можна використовувати при дослідженні задачі Коші та нелокальних за часом задач для диференціально-операторних рівнянь вигляду $\frac{\partial u(t,x)}{\partial t} = \\ = \varphi(\frac{i \partial}{\partial x}) u(t,x), \,\, (t,x) \in \Omega$ з початковою функцією, яка є елементом простору узагальнених функцій типу ультрарозподілів (типу $ S $).

[1] Gelfand I.M., Shilov G.E. Spaces of main and generalized functions. M., Fizmatgiz, 1958. 307 p.
[2] M.L. Gorbachuk and P.I. Dudnikov. On the initial data of the Cauchy problem for parabolic equations
for which the solutions are infinitely differentiable. Dokl. USSR Academy of Sciences. Ser. A., 1981,
No 4. 9–11.
[3] Gorbachuk V.I., Gorbachuk M.L. Boundary value problems for differential-operator equations. Kiev,
Science. opinion, 1984. 284 p.
[4] Horodetskiy V.V. Boundary properties of solutions of equations of parabolic type smooth in a layer.
Chernivtsi, Ruta, 1998. 225 p.
[5] Horodetskiy V.V. Sets of initial values of smooth solutions of differential-operator equations of parabolic
type. Chernivtsi, Ruta, 1998. 219 p.
[6] Horodetskiy V.V. Evolutionary equations in countable-normalized spaces of infinitely differentiable
functions. Chernivtsi, Ruta, 2008. 400 p.
[7] Mandelbroit S. Quasi-analytic classes of functions. M., Gostehizdat, 1937. 156 p.
[8] Horodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Methods for solving problems in functional analysis.
Kiev, Higher School, 1990. 479 p.
[9] Gelfand I.M., Shilov G.E. Fourier transform of fast-growing functions and Fourier integrals. Uspekhi
Mat. Science, 1951, 6, iss. 2. 102–143.

[10] Horodetskiy V.V., Drin Y.M., Nagnibida M.I. Generalized functions. Methods of solving problems.
Chernivtsi, Books – XXI, 2011. 504 p.